(2,0) Use o método de separação de variáveis para substituir a equação diferencial parcial dada por um par de equações diferenciais ordinárias x u_{x x}+t x u_{t}=5 u.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o método de separação de variáveis à equação
x\,u_{xx}(x,t)\;+\;t\,x\,u_{t}(x,t)\;=\;5\,u(x,t)
de modo a reduzi-la a um sistema de duas equações diferenciais ordinárias.

Passo 2

Proponho a forma separada
u(x,t)=X(x)\,T(t).
Logo, derivando:
u_{xx}(x,t)=X''(x)\,T(t),
u_{t}(x,t)=X(x)\,T'(t).

Passo 3

Substituindo essas derivadas na PDE original, obtemos
x\bigl[X''(x)\,T(t)\bigr]\;+\;t\,x\bigl[X(x)\,T'(t)\bigr]\;=\;5\,X(x)\,T(t).

Passo 4

Dividindo ambos os lados por X(x)\,T(t) e por x (supondo x\neq0), vem
\frac{X''(x)}{X(x)}\;+\;t\,\frac{T'(t)}{T(t)}\;=\;\frac{5}{x}.

Passo 5

No lado esquerdo temos a soma de uma função apenas de x com outra apenas de t, enquanto o lado direito depende só de x. Para que isso seja possível, a parte em t deve ser constante. Chame essa constante de \lambda:
t\,\frac{T'(t)}{T(t)}=\lambda.

Passo 6

Da condição em t segue a EDO para T:
\frac{T'}{T}=\frac{\lambda}{t} \quad\Longrightarrow\quad t\,T'(t)-\lambda\,T(t)=0.

Passo 7

Usando \;t\,T'/T=\lambda na separação do passo 4, obtemos
\frac{X''(x)}{X(x)}=\frac{5}{x}-\lambda \quad\Longrightarrow\quad X''(x)-\Bigl(\frac{5}{x}-\lambda\Bigr)\,X(x)=0.
Multiplicando por x, fica
x\,X''(x)+\bigl(\lambda\,x-5\bigr)\,X(x)=0.

Resposta

As equações ordinárias obtidas são
t\,T'(t)-\lambda\,T(t)=0, \qquad x\,X''(x)+\bigl(\lambda\,x-5\bigr)\,X(x)=0,
onde \lambda é a constante de separação.

Exercícios relacionados