Use o método de separação de variáveis para substituir a equação diferencial parcial dada por um par de equações diferenciais ordinárias
.
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o método de separação de variáveis à equação
de modo a reduzi-la a um sistema de duas equações diferenciais ordinárias.
Passo 2
Proponho a forma separada
Logo, derivando:
Passo 3
Substituindo essas derivadas na PDE original, obtemos
Passo 4
Dividindo ambos os lados por
e por
(supondo
), vem
Passo 5
No lado esquerdo temos a soma de uma função apenas de
com outra apenas de
, enquanto o lado direito depende só de
. Para que isso seja possível, a parte em
deve ser constante. Chame essa constante de
:
Passo 6
Da condição em
segue a EDO para
:
Passo 7
Usando
na separação do passo 4, obtemos
Multiplicando por
, fica
Resposta
As equações ordinárias obtidas são
onde
é a constante de separação.