Calcule a derivada das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações importantes dadas: a função envolve raiz quadrada, então seu domínio natural é
(porque
exige
e
exclui
). O que precisamos encontrar é
, a derivada de
em relação a
.
Passo 2
Ferramentas que vamos usar (explicadas de forma direta):
- Regra do poder (power rule): para qualquer expoente real
,
Aqui
é a variável e
é um número fixo (por exemplo
ou
).
- Linearidade da derivada: a derivada de soma (ou subtração) é a soma (ou subtração) das derivadas, e constantes podem ser puxadas para fora:
Exemplo rápido para fixar:
usando a regra do poder.
Passo 3
Primeiro reescrevemos a função usando potências, porque derivar fica mais direto:
Portanto
Passo 4
Aplicamos a linearidade: a derivada será a diferença das derivadas dos termos:
Passo 5
Derivada do primeiro termo usando a regra do poder com
:
Convertendo para raiz, lembrando que
, obtemos
Passo 6
Derivada do segundo termo: primeiro puxamos a constante
:
Aplicando a regra do poder com
:
Logo
Passo 7
Agora somamos os resultados dos dois termos:
Se quisermos colocar num único quociente, escrevemos
e fazemos o mínimo denominador comum
:
Lembre que essa forma está válida para
, que é o domínio da função.