Calcule a derivada das funções abaixo.
g(x)=\sqrt{x}-\frac{4}{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
g(x)=\sqrt{x}-\frac{4}{x}.
Informações importantes dadas: a função envolve raiz quadrada, então seu domínio natural é x>0 (porque \sqrt{x} exige x\ge0 e \tfrac{4}{x} exclui x=0). O que precisamos encontrar é g'(x), a derivada de g em relação a x.

Passo 2

Ferramentas que vamos usar (explicadas de forma direta):
  • Regra do poder (power rule): para qualquer expoente real n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Aqui x é a variável e n é um número fixo (por exemplo n=\tfrac{1}{2} ou n=-1).
  • Linearidade da derivada: a derivada de soma (ou subtração) é a soma (ou subtração) das derivadas, e constantes podem ser puxadas para fora:
\frac{d}{dx}\bigl(c\cdot f(x)\bigr)=c\cdot f'(x).
Exemplo rápido para fixar: \frac{d}{dx}(x^3)=3x^2 usando a regra do poder.

Passo 3

Primeiro reescrevemos a função usando potências, porque derivar fica mais direto:
\sqrt{x}=x^{1/2},\qquad \frac{4}{x}=4x^{-1}.
Portanto
g(x)=x^{1/2}-4x^{-1}.

Passo 4

Aplicamos a linearidade: a derivada será a diferença das derivadas dos termos:
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/2}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(4x^{-1}\bigr).

Passo 5

Derivada do primeiro termo usando a regra do poder com n=\tfrac{1}{2}:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/2}\bigr)=\tfrac{1}{2}\,x^{1/2-1}=\tfrac{1}{2}\,x^{-1/2}.
Convertendo para raiz, lembrando que x^{-1/2}=1/\sqrt{x}, obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/2}\bigr)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 6

Derivada do segundo termo: primeiro puxamos a constante -4:
\frac{d}{dx}\bigl(-4x^{-1}\bigr)=-4\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr).
Aplicando a regra do poder com n=-1:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr)=-1\cdot x^{-2}=-x^{-2}.
Logo
\frac{d}{dx}\bigl(-4x^{-1}\bigr)=-4\cdot(-x^{-2})=4x^{-2}.

Passo 7

Agora somamos os resultados dos dois termos:
g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+4x^{-2}.
Se quisermos colocar num único quociente, escrevemos x^{-2}=\tfrac{1}{x^{2}} e fazemos o mínimo denominador comum 2x^{2}:
\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{4}{x^{2}}=\frac{x^{3/2}+8}{2x^{2}}=\frac{x\sqrt{x}+8}{2x^{2}}.
Lembre que essa forma está válida para x>0, que é o domínio da função.

Resposta

\displaystyle g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{4}{x^{2}}=\frac{x\sqrt{x}+8}{2x^{2}}

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