Calcule a derivada das funções abaixo:
y=\ln \left(3 x^{4}+2 x^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função dada. A função é
y=\ln\!\left(3x^{4}+2x^{2}+1\right).
O que precisamos encontrar é a derivada de y em relação a x, ou seja y'=\dfrac{dy}{dx}. As informações relevantes são apenas a expressão dentro do logaritmo natural: 3x^{4}+2x^{2}+1.

Passo 2

Vamos lembrar e explicar a regra que usaremos imediatamente: a derivada do logaritmo natural composto. Se tivermos uma função composta y=\ln\!\big(u(x)\big), onde u(x) é uma função diferenciável de x, então a regra da cadeia dá
y'=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Explicando: aqui u(x) é a função que está dentro do \ln (o “recheio”), e u'(x) é a derivada dessa função interna em relação a x. A justificativa rápida é: a derivada de \ln(t) em relação a t é \tfrac{1}{t}, e pela regra da cadeia multiplicamos por dt/dx=u'(x).

Passo 3

Identificamos a função interna u(x). No nosso caso,
u(x)=3x^{4}+2x^{2}+1.
Agora vamos calcular u'(x). Para isso usamos duas ideias: a linearidade da derivada (a derivada de soma é soma das derivadas) e a regra do poder (power rule): se f(x)=x^{n} com n inteiro, então f'(x)=n x^{n-1}. Aplicando termo a termo:
  • A derivada de 3x^{4} é 3 vezes a derivada de x^{4}, ou seja 3\cdot 4x^{3}=12x^{3}.
  • A derivada de 2x^{2} é 2 vezes a derivada de x^{2}, ou seja 2\cdot 2x=4x.
  • A derivada de 1 é 0.
Somando:
u'(x)=12x^{3}+4x.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do logaritmo composta (Passo 2): substituindo u(x) e u'(x),
y'=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{12x^{3}+4x}{3x^{4}+2x^{2}+1}.

Passo 5

Podemos simplificar um fator comum no numerador para obter uma forma mais elegante e útil na prova. No numerador 12x^{3}+4x há fator comum 4x. Fatorando:
12x^{3}+4x=4x\big(3x^{2}+1\big).
Logo uma forma simplificada da derivada é
y'=\frac{4x\big(3x^{2}+1\big)}{3x^{4}+2x^{2}+1}.

Passo 6

Observação útil para a prova: o domínio de y é onde o argumento do \ln é positivo. Aqui 3x^{4}+2x^{2}+1\ge 1 para todo x\in\mathbb{R} (porque os termos 3x^{4} e 2x^{2} são não-negativos), portanto a função está definida para todo x real e a derivada acima vale para todos x\in\mathbb{R}.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{12x^{3}+4x}{3x^{4}+2x^{2}+1}=\dfrac{4x\big(3x^{2}+1\big)}{3x^{4}+2x^{2}+1}

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