Calcule a derivada das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função dada. A função é
O que precisamos encontrar é a derivada de
em relação a
, ou seja
. As informações relevantes são apenas a expressão dentro do logaritmo natural:
.
Passo 2
Vamos lembrar e explicar a regra que usaremos imediatamente: a derivada do logaritmo natural composto. Se tivermos uma função composta
, onde
é uma função diferenciável de
, então a regra da cadeia dá
Explicando: aqui
é a função que está dentro do
(o “recheio”), e
é a derivada dessa função interna em relação a
. A justificativa rápida é: a derivada de
em relação a
é
, e pela regra da cadeia multiplicamos por
.
Passo 3
Identificamos a função interna
. No nosso caso,
Agora vamos calcular
. Para isso usamos duas ideias: a linearidade da derivada (a derivada de soma é soma das derivadas) e a regra do poder (power rule): se
com
inteiro, então
. Aplicando termo a termo:
- A derivada de
é vezes a derivada de , ou seja . - A derivada de
é vezes a derivada de , ou seja . - A derivada de
é .
Somando:
Passo 4
Agora aplicamos a regra do logaritmo composta (Passo 2): substituindo
e
,
Passo 5
Podemos simplificar um fator comum no numerador para obter uma forma mais elegante e útil na prova. No numerador
há fator comum
. Fatorando:
Logo uma forma simplificada da derivada é
Passo 6
Observação útil para a prova: o domínio de
é onde o argumento do
é positivo. Aqui
para todo
(porque os termos
e
são não-negativos), portanto a função está definida para todo
real e a derivada acima vale para todos
.