Calcule a derivada das funções abaixo no ponto dado, por definição:
f(x)=x^6+5 x^3, em x0=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função f(x) = x^6 + 5x^3 no ponto x0 = 1 usando a definição de derivada. Isso faz parte do estudo de Cálculo, especificamente do tópico de derivadas. Para resolver, vamos usar a definição de derivada, que envolve calcular um limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada de uma função no ponto x0 . A derivada f'(x0) é o limite da taxa de variação da função quando h se aproxima de zero. Em fórmula, temos:
f'(x0) = limh to 0 f(x0 + h) - f(x0)h

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função f(x) = x^6 + 5x^3 no ponto x0 = 1 . Primeiro, vamos calcular f(1) :
f(1) = (1)^6 + 5(1)^3 = 1 + 5 = 6

Passo 4

Em seguida, vamos calcular f(1 + h) :
f(1 + h) = (1 + h)^6 + 5(1 + h)^3
Precisamos expandir essas potências. Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 5

Vamos expandir (1 + h)^6 . Usando a fórmula do binômio de Newton:
(1 + h)^6 = 1 + 6h + 15h^2 + 20h^3 + 15h^4 + 6h^5 + h^6

Passo 6

Agora, vamos expandir 5(1 + h)^3 :
Primeiro, expanda (1 + h)^3 :
(1 + h)^3 = 1 + 3h + 3h^2 + h^3
Multiplicando por 5:
5(1 + h)^3 = 5 + 15h + 15h^2 + 5h^3

Passo 7

Agora, vamos somar as duas expansões:
f(1 + h) = (1 + 6h + 15h^2 + 20h^3 + 15h^4 + 6h^5 + h^6) + (5 + 15h + 15h^2 + 5h^3)
Somando os termos semelhantes:
f(1 + h) = 6 + 21h + 30h^2 + 25h^3 + 15h^4 + 6h^5 + h^6

Passo 8

Agora, vamos calcular f(1 + h) - f(1) :
f(1 + h) - f(1) = (6 + 21h + 30h^2 + 25h^3 + 15h^4 + 6h^5 + h^6) - 6 = 21h + 30h^2 + 25h^3 + 15h^4 + 6h^5 + h^6

Passo 9

Dividindo essa diferença por h :
f(1 + h) - f(1)h = 21h + 30h^2 + 25h^3 + 15h^4 + 6h^5 + h^6h = 21 + 30h + 25h^2 + 15h^3 + 6h^4 + h^5

Passo 10

Agora, vamos calcular o limite quando h tende a zero:
f'(1) = limh to 0 (21 + 30h + 25h^2 + 15h^3 + 6h^4 + h^5) = 21

Resposta

A derivada da função f(x) = x^6 + 5x^3 no ponto x0 = 1 é f'(1) = 21 .

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