Calcule a derivada das funções abaixo no ponto dado, por definição:
, em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função
no ponto
usando a definição de derivada. Isso faz parte do estudo de Cálculo, especificamente do tópico de derivadas. Para resolver, vamos usar a definição de derivada, que envolve calcular um limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada de uma função no ponto
. A derivada
é o limite da taxa de variação da função quando
se aproxima de zero. Em fórmula, temos:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
no ponto
. Primeiro, vamos calcular
:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular
:
Precisamos expandir essas potências. Vamos fazer isso passo a passo.
Passo 5
Vamos expandir
. Usando a fórmula do binômio de Newton:
Passo 6
Agora, vamos expandir
:
Primeiro, expanda
:
Multiplicando por 5:
Passo 7
Agora, vamos somar as duas expansões:
Somando os termos semelhantes:
Passo 8
Agora, vamos calcular
:
Passo 9
Dividindo essa diferença por
:
Passo 10
Agora, vamos calcular o limite quando
tende a zero:
Resposta
A derivada da função
no ponto
é
.