Use o item (a) para achar uma série de potências para f(x)=ln (x^2+1).

Passo 1

O enunciado pede para obter a expansão em série de potências de
f(x)=lnl(x^2+1r)
usando o resultado do item (a), que fornece a série de Taylor de ln(1+u) em torno de u=0.

Passo 2

Relembrando o item (a), temos para lvert urvert<1 a expansão
ln(1+u)=sumn=1^infty(-1)^n+1,u^nn

Passo 3

Fazendo a substituição u=x^2, obtemos
lnl(1+x^2r) =sumn=1^infty(-1)^n+1,(x^2)^nn =sumn=1^infty(-1)^n+1,x^2nn

Passo 4

O raio de convergência vem de lvert x^2rvert<1, ou seja lvert xrvert<1. Portanto a série vale para xin(-1,1).

Resposta

lnl(1+x^2r) =sumn=1^infty(-1)^n+1,x^2nn, |x|<1

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