Calcule a derivada das funções abaixo no ponto dado, por definição:
f(x)=2 raizx, em x0=5

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=2raizx no ponto x0=5 usando a definição de derivada. Vamos usar
f'(x0)=limxto x0f(x)-f(x0)x-x0
e em seguida racionalizar a diferença de raízes para calcular o limite.

Passo 2

Aplicando a definição em x0=5, temos
f'(5)=limxto5f(x)-f(5)x-5 =limxto52raizx-2raiz5x-5

Passo 3

Note que 2raizx-2raiz5=2l(raizx-raiz5r), então
f'(5) =limxto52;raizx-raiz5x-5 =2limxto5raizx-raiz5x-5

Passo 4

Para eliminar a indeterminação, racionalizamos o numerador multiplicando e dividindo por raizx+raiz5:
raizx-raiz5x-5 =(raizx-raiz5)(raizx+raiz5)(x-5)(raizx+raiz5) =x-5(x-5)(raizx+raiz5) =1raizx+raiz5
Portanto
f'(5) =2limxto51raizx+raiz5 =2cdot1raiz5+raiz5 =2cdot12raiz5 =1raiz5

Resposta

f'(5)=1raiz5

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