Use o item (a) para encontrar uma série de potências para f(x)=x ln (1+x).

Passo 1

O enunciado pede a série de potências de
f(x)=xln(1+x)
O que vamos usar é o item (a), que nos fornece a expansão em série de Taylor (em torno de 0) para ln(1+x), e depois multiplicar essa série por x.

Passo 2

Pelo item (a), para lvert xrvert<1 temos
ln(1+x)=sumn=1^infty(-1)^n-1x^nn

Passo 3

Multiplicando membro a membro por x, obtemos
xln(1+x) =sumn=1^infty(-1)^n-1x^n+1n

Passo 4

Fazendo a troca de índice k=n+1 (ou seja, n=k-1), a soma passa a ser em k>=2:
xln(1+x) =sumk=2^infty(-1)^k-2x^kk-1,
válida para lvert xrvert<1.

Resposta

xln(1+x) =sumn=1^infty(-1)^n-1x^n+1n =sumk=2^infty(-1)^k-2x^kk-1, |x|<1

Exercícios relacionados