Calcule a derivada das funções abaixo:
(a) (0,5 pontos) F(x)=integralx^2 raiz[4]t^2+1 d t

Passo 1

Vamos resolver uma derivada envolvendo uma função definida por uma integral. O exercício pede para calcular a derivada da função $ F(x) = \int_{x}^{2} \sqrt[4]{t^{2}+1} , dt $. Para isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona integrais e derivadas.

Passo 2

Primeiramente, entendemos que $ F(x) $ é uma função que calcula a área sob a curva $ \sqrt[4]{t^{2}+1} $ entre os limites $ x $ e $ 2 $. Nosso objetivo é encontrar a taxa de variação dessa área em relação a $ x $, ou seja, $ F’(x) $.

Passo 3

Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se temos uma função definida por uma integral com limite inferior sendo $ x $ e limite superior sendo uma constante, a derivada dessa função é igual ao negativo da função dentro da integral avaliada em $ x $. A fórmula é:
x
onde $ f(t) = \sqrt[4]{t^{2}+1} $.

Passo 4

Aplicando a fórmula, substituímos $ f(x) $ na expressão:
f(x)

Resposta

A derivada da função $ F(x) $ é:
F(x)

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