Calcule a derivada das funções abaixo:
(a)
pontos)
(a)
Passo 1
Vamos resolver uma derivada envolvendo uma função definida por uma integral. O exercício pede para calcular a derivada da função $ F(x) = \int_{x}^{2} \sqrt[4]{t^{2}+1} , dt $. Para isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona integrais e derivadas.
Passo 2
Primeiramente, entendemos que $ F(x) $ é uma função que calcula a área sob a curva $ \sqrt[4]{t^{2}+1} $ entre os limites $ x $ e $ 2 $. Nosso objetivo é encontrar a taxa de variação dessa área em relação a $ x $, ou seja, $ F’(x) $.
Passo 3
Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se temos uma função definida por uma integral com limite inferior sendo $ x $ e limite superior sendo uma constante, a derivada dessa função é igual ao negativo da função dentro da integral avaliada em $ x $. A fórmula é:
onde $ f(t) = \sqrt[4]{t^{2}+1} $.
Passo 4
Aplicando a fórmula, substituímos $ f(x) $ na expressão:
Resposta
A derivada da função $ F(x) $ é: