Calcule a derivada das funções abaixo nos pontos indicados, isto é, calcule f^{\prime}\left(x_{o}\right) :
f(x)=e^{-x} \cos (3 x), \quad x_{o}=0.

Passo 1

O enunciado dá a função f e o ponto onde precisamos a derivada:
  • Função: f(x)=e^{-x}\cos(3x).
  • Ponto pedido: x_{0}=0.
O que é pedido: calcular f^{\prime}\left(x_{0}\right), isto é, a derivada de f avaliada em x=0.

Passo 2

Recordando a definição de derivada no ponto (só para ter a ideia do que estamos calculando):
f'(x_{0})=\lim_{h\to0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.
Na prática de prova é muito mais rápido usar regras de diferenciação (produto e cadeia) para obter f'(x) e depois avaliar em x_{0}. Vou explicar essas regras antes de aplicar.

Passo 3

Regras que vamos usar (explicadas com calma):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
\bigl(u(x)v(x)\bigr)'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aqui u'(x) significa a derivada de u em x; mesma ideia para v'(x).
  • Regra da cadeia (aplicada a exponencial): se g(x)=e^{u(x)} então
g'(x)=u'(x)e^{u(x)}.
Ou seja, derivar a exponencial mantém a exponencial e multiplica pela derivada do expoente u'(x).
  • Derivada de cosseno e de funções lineares dentro do cosseno: para w(x)=\cos(kx) com constante k,
w'(x) = -k\sin(kx).
Explicação: derivada de \cos é -\sin e, pela regra da cadeia, multiplica-se pela derivada do argumento kx, que é k.

Passo 4

Agora identifique as partes da função como produto de duas funções para aplicar a regra do produto:
  • Tome u(x)=e^{-x}.
  • Tome v(x)=\cos(3x).
Calcule u'(x) e v'(x) usando as regras acima:
  • Para u(x)=e^{-x}: o expoente é u_{\text{exp}}(x)=-x cuja derivada é -1. Pela regra da cadeia,
u'(x) = (-1)\,e^{-x} = -e^{-x}.
  • Para v(x)=\cos(3x): derivada da cosseno é -\sin e derivada de 3x é 3, então
v'(x) = -3\sin(3x).
Agora aplique a regra do produto:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo u,u',v,v':
f'(x)=\bigl(-e^{-x}\bigr)\cos(3x)+e^{-x}\bigl(-3\sin(3x)\bigr).
Simplificando sinais e fatorando e^{-x}:
f'(x)=-e^{-x}\cos(3x)-3e^{-x}\sin(3x) = -e^{-x}\bigl(\cos(3x)+3\sin(3x)\bigr).

Passo 5

Agora avaliamos a derivada em x_{0}=0. Substitua x=0 na expressão de f'(x):
  • Primeiro calcule as funções em 0: e^{-0}=1, \cos(3\cdot 0)=\cos(0)=1, \sin(3\cdot 0)=\sin(0)=0.
  • Substituindo em
f'(0) = -e^{-0}\bigl(\cos(0)+3\sin(0)\bigr)
obtemos
f'(0) = -1\bigl(1+3\cdot 0\bigr) = -1.

Passo 6

Breve checagem mental: fazia sentido que a derivada fosse um número real simples; a fatoração -e^{-x}(\cos3x+3\sin3x) está correta e ao avaliar em 0 os senos desaparecem e sobra -1. Tudo consistente.

Resposta

-1

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