Calcule a derivada das funções abaixo nos pontos indicados, isto é, calcule
:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto onde precisamos a derivada:
- Função:
. - Ponto pedido:
.
O que é pedido: calcular
, isto é, a derivada de
avaliada em
.
Passo 2
Recordando a definição de derivada no ponto (só para ter a ideia do que estamos calculando):
Na prática de prova é muito mais rápido usar regras de diferenciação (produto e cadeia) para obter
e depois avaliar em
. Vou explicar essas regras antes de aplicar.
Passo 3
Regras que vamos usar (explicadas com calma):
- Regra do produto: se
e são funções diferenciáveis, então
Aqui
significa a derivada de
em
; mesma ideia para
.
- Regra da cadeia (aplicada a exponencial): se
então
Ou seja, derivar a exponencial mantém a exponencial e multiplica pela derivada do expoente
.
- Derivada de cosseno e de funções lineares dentro do cosseno: para
com constante ,
Explicação: derivada de
é
e, pela regra da cadeia, multiplica-se pela derivada do argumento
, que é
.
Passo 4
Agora identifique as partes da função como produto de duas funções para aplicar a regra do produto:
- Tome
. - Tome
.
Calcule
e
usando as regras acima:
- Para
: o expoente é cuja derivada é . Pela regra da cadeia,
- Para
: derivada da cosseno é e derivada de é , então
Agora aplique a regra do produto:
Substituindo
:
Simplificando sinais e fatorando
:
Passo 5
Agora avaliamos a derivada em
. Substitua
na expressão de
:
- Primeiro calcule as funções em
: , , . - Substituindo em
obtemos
Passo 6
Breve checagem mental: fazia sentido que a derivada fosse um número real simples; a fatoração
está correta e ao avaliar em
os senos desaparecem e sobra
. Tudo consistente.