Calcule a derivada das funções abaixo nos pontos indicados, isto é, calcule f^{\prime}\left(x_{o}\right) :
f(x)=\frac{2^{3 x}-2^{-3 x}}{2^{3 x}+2^{-3 x}}, \quad x_{o}=0

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{2^{3x}-2^{-3x}}{2^{3x}+2^{-3x}}
e pede para calcular f^{\prime}\left(x_{o}\right) no ponto x_{o}=0.
Informações relevantes: a função é uma razão (numerador e denominador dependem de x) e envolve potências de base 2 com expoentes que são funções de x. O objetivo é encontrar a derivada de f e, em seguida, avaliá-la em x=0.

Passo 2

Recordando duas regras que vou usar (explicadas com calma):
  • Derivada de uma potência de base positiva a e expoente dependente u(x): escrevendo a^{u(x)}=e^{u(x)\ln a}, pela regra da cadeia tem-se
\frac{d}{dx}\big(a^{u(x)}\big)=a^{u(x)}\ln(a)\cdot u'(x).
Aqui a é a base (no nosso caso a=2), u(x) é o expoente, \ln(a) é o logaritmo natural de a e u'(x) é a derivada do expoente.
  • Regra do quociente: se f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)} com h(x)\neq0, então
f'(x)=\frac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^2}.
Vou aplicar primeiro a fórmula da derivada para cada termo exponencial e depois a regra do quociente.

Passo 3

Defino o numerador e o denominador para organizar:
g(x)=2^{3x}-2^{-3x},\qquad h(x)=2^{3x}+2^{-3x}.
Calculo g'(x) e h'(x) usando a fórmula de derivada de a^{u(x)}.
Para u_1(x)=3x e a=2:
\frac{d}{dx}\big(2^{3x}\big)=2^{3x}\ln 2\cdot(3)=3\ln 2\;2^{3x}.
Para u_2(x)=-3x e a=2:
\frac{d}{dx}\big(2^{-3x}\big)=2^{-3x}\ln 2\cdot(-3)=-3\ln 2\;2^{-3x}.
Agora:
g'(x)=\frac{d}{dx}\big(2^{3x}\big)-\frac{d}{dx}\big(2^{-3x}\big)=3\ln 2\;2^{3x}-\big(-3\ln 2\;2^{-3x}\big)=3\ln 2\big(2^{3x}+2^{-3x}\big).
h'(x)=\frac{d}{dx}\big(2^{3x}\big)+\frac{d}{dx}\big(2^{-3x}\big)=3\ln 2\;2^{3x}+(-3\ln 2)\;2^{-3x}=3\ln 2\big(2^{3x}-2^{-3x}\big).

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
f'(x)=\frac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^2}.
Substituindo g,g',h,h' obtidos:
f'(x)=\frac{3\ln 2\big(2^{3x}+2^{-3x}\big)\big(2^{3x}+2^{-3x}\big)-\big(2^{3x}-2^{-3x}\big)\,3\ln 2\big(2^{3x}-2^{-3x}\big)}{\big(2^{3x}+2^{-3x}\big)^2}.
Fatorando 3\ln 2 no numerador:
f'(x)=3\ln 2\cdot\frac{\big(2^{3x}+2^{-3x}\big)^2-\big(2^{3x}-2^{-3x}\big)^2}{\big(2^{3x}+2^{-3x}\big)^2}.

Passo 5

Simplifico a diferença de quadrados do numerador. Use a identidade (A)^2-(B)^2=(A-B)(A+B) com A=2^{3x}+2^{-3x} e B=2^{3x}-2^{-3x}:
A-B=\big(2^{3x}+2^{-3x}\big)-\big(2^{3x}-2^{-3x}\big)=2\cdot 2^{-3x},
A+B=\big(2^{3x}+2^{-3x}\big)+\big(2^{3x}-2^{-3x}\big)=2\cdot 2^{3x}.
Logo
\big(2^{3x}+2^{-3x}\big)^2-\big(2^{3x}-2^{-3x}\big)^2=(A-B)(A+B)=\big(2\cdot 2^{-3x}\big)\big(2\cdot 2^{3x}\big)=4\cdot 2^{3x}2^{-3x}=4.
Substituindo isso em f'(x):
f'(x)=3\ln 2\cdot\frac{4}{\big(2^{3x}+2^{-3x}\big)^2}=\frac{12\ln 2}{\big(2^{3x}+2^{-3x}\big)^2}.

Passo 6

Agora avalio em x_{o}=0. Primeiro calculo 2^{3\cdot 0}=2^{0}=1 e 2^{-3\cdot 0}=2^{0}=1. Então
\big(2^{3\cdot 0}+2^{-3\cdot 0}\big)^2=(1+1)^2=2^2=4.
Portanto
f'(0)=\frac{12\ln 2}{4}=3\ln 2.

Resposta

3\ln 2

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