Calcule a derivada das funções abaixo nos pontos indicados, isto é, calcule
:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular
no ponto
.
Informações relevantes: a função é uma razão (numerador e denominador dependem de ) e envolve potências de base
com expoentes que são funções de
. O objetivo é encontrar a derivada de
e, em seguida, avaliá-la em
.
Informações relevantes: a função é uma razão (numerador e denominador dependem de
Passo 2
Recordando duas regras que vou usar (explicadas com calma):
- Derivada de uma potência de base positiva
e expoente dependente : escrevendo , pela regra da cadeia tem-se
Aqui
é a base (no nosso caso
),
é o expoente,
é o logaritmo natural de
e
é a derivada do expoente.
- Regra do quociente: se
com , então
Vou aplicar primeiro a fórmula da derivada para cada termo exponencial e depois a regra do quociente.
Passo 3
Defino o numerador e o denominador para organizar:
Calculo
e
usando a fórmula de derivada de
.
Para
e
:
Para
e
:
Agora:
Passo 4
Aplicando a regra do quociente:
Substituindo
obtidos:
Fatorando
no numerador:
Passo 5
Simplifico a diferença de quadrados do numerador. Use a identidade
com
e
:
Logo
Substituindo isso em
:
Passo 6
Agora avalio em
. Primeiro calculo
e
. Então
Portanto