Calcule à derivada das funçōes abaixo.
(1.5 pt.) g(x)=\left(x^{3}+2 x\right) e^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
g(x)=\left(x^{3}+2x\right)e^{2}.
Informações dadas: a expressão é o produto de \left(x^{3}+2x\right) por e^{2}. Note que e^{2} é um número constante (onde e é a base dos logaritmos naturais) e não depende de x.

Passo 2

Regra que vamos usar primeiro: a regra do fator constante. Ela diz que, se a é uma constante e f(x) é uma função, então
\frac{d}{dx}\big[a\cdot f(x)\big]=a\cdot f'(x).
Aqui podemos tomar a=e^{2} e f(x)=x^{3}+2x. Ou seja, basta derivar f(x) e multiplicar pelo constante e^{2}.

Passo 3

Regra que vamos usar para f(x)=x^{3}+2x: a regra da soma e a regra do poder.
A regra da soma diz que a derivada da soma é a soma das derivadas:
\frac{d}{dx}\big[f(x)+g(x)\big]=f'(x)+g'(x).
A regra do poder (ou regra da potência) diz que, para n real,
\frac{d}{dx}\big[x^{n}\big]=n x^{n-1}.
Aplicaremos essas regras termo a termo em x^{3}+2x.

Passo 4

Derivando cada termo de f(x)=x^{3}+2x:
  • Para x^{3}, pela regra do poder com n=3,
\frac{d}{dx}\big[x^{3}\big]=3x^{2}.
  • Para 2x, trate 2 como constante multiplicativa e x tem derivada 1, então
\frac{d}{dx}\big[2x\big]=2\cdot\frac{d}{dx}[x]=2\cdot 1=2.
Somando (regra da soma),
\frac{d}{dx}\big[x^{3}+2x\big]=3x^{2}+2.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do fator constante (Passo 2): multiplicamos a derivada obtida pelo constante e^{2}. Logo,
g'(x)=e^{2}\cdot\big(3x^{2}+2\big).

Resposta

g'(x)=\big(3x^{2}+2\big)e^{2}

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