Calcule a derivada das funções abaixo, simplificando sempre que possível:
f(x)=\frac{\log _{a} x}{e^{x}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se calcular a derivada da função f definida por
f(x)=\frac{\log_{a} x}{e^{x}}.
  • Informações importantes (implícitas na notação):
    • A base do logaritmo a satisfaz a>0 e a\neq1.
    • O domínio natural da função exige x>0.
  • Não começar a resolver ainda; apenas identificar pedido e dados acima.

Passo 2

Escolha do método (e por quê):
  • Vou reescrever a função como produto, porque isso torna a derivação mais direta usando a regra do produto:
f(x)=\log_{a} x\cdot e^{-x}.
  • Regra escolhida: regra do produto, que é básica e rápida aqui. A regra do quociente também funcionaria, mas em geral é mais simples transformar \dfrac{u}{v} em u\cdot v^{-1} e aplicar a regra do produto.

Passo 3

Recapitulando as fórmulas que vou usar (com explicação simples):
  • Derivada da função logarítmica em base a:
    • Podemos escrever \log_{a} x = \dfrac{\ln x}{\ln a}, onde \ln é o logaritmo natural.
    • Como \ln a é constante em relação a x, a derivada é
    \frac{d}{dx}\big(\log_{a} x\big)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)=\frac{1}{\ln a}\cdot\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{\ln a}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{x\ln a}.
    • Interpretação: a derivada mede a taxa de variação de \log_a x; aparece o fator \ln a porque a base não é e.
  • Derivada da exponencial composta e^{-x}:
    • Regra da cadeia: se g(x)=e^{u(x)} então g'(x)=e^{u(x)}u'(x).
    • Aqui u(x)=-x tem u'(x)=-1, logo
    \frac{d}{dx}\big(e^{-x}\big)=-e^{-x}.
  • Regra do produto:
    • Se h(x)=u(x)v(x) então h'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).

Passo 4

Aplicando as fórmulas passo a passo:
  • Defino u(x)=\log_{a} x e v(x)=e^{-x}.
  • Já calculei: u'(x)=\frac{1}{x\ln a},\qquad v'(x)=-e^{-x}.
  • Pela regra do produto: f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=\frac{1}{x\ln a}\,e^{-x}+\log_{a} x\cdot(-e^{-x}).
  • Reescrevendo: f'(x)=e^{-x}\left(\frac{1}{x\ln a}-\log_{a} x\right).

Passo 5

Simplificação algébrica final (fazer a forma mais limpa para a prova):
  • Substituo \log_{a} x=\dfrac{\ln x}{\ln a} dentro do parêntese: \frac{1}{x\ln a}-\log_{a} x=\frac{1}{x\ln a}-\frac{\ln x}{\ln a}.
  • Coloco em denominador comum x\ln a: \frac{1}{x\ln a}-\frac{\ln x}{\ln a}=\frac{1 - x\ln x}{x\ln a}.(Passo intermédio: ao expandir, \dfrac{\ln x}{\ln a}=\dfrac{x\ln x}{x\ln a}.)
  • Substituindo de volta em f'(x): f'(x)=e^{-x}\cdot\frac{1 - x\ln x}{x\ln a}.
  • Opcionalmente escrevendo e^{-x}=\dfrac{1}{e^{x}}, obtém-se a forma: f'(x)=\frac{1 - x\ln x}{x\ln a\; e^{x}}.
  • Observação final de domínio: essa expressão vale para x>0 e a>0,\\ a\neq1, que são as condições iniciais.

Resposta

f'(x)=\frac{1 - x\ln x}{x\ln a\; e^{x}}

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