Calcule a derivada das funções abaixo, simplificando sempre que possível:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede-se calcular a derivada da função
definida por
- Informações importantes (implícitas na notação):
- A base do logaritmo
satisfaz e . - O domínio natural da função exige
.
- A base do logaritmo
- Não começar a resolver ainda; apenas identificar pedido e dados acima.
Passo 2
Escolha do método (e por quê):
- Vou reescrever a função como produto, porque isso torna a derivação mais direta usando a regra do produto:
- Regra escolhida: regra do produto, que é básica e rápida aqui. A regra do quociente também funcionaria, mas em geral é mais simples transformar
em e aplicar a regra do produto.
Passo 3
Recapitulando as fórmulas que vou usar (com explicação simples):
- Derivada da função logarítmica em base
: - Podemos escrever
, onde é o logaritmo natural. - Como
é constante em relação a , a derivada é
- Interpretação: a derivada mede a taxa de variação de
; aparece o fator porque a base não é .
- Podemos escrever
- Derivada da exponencial composta
: - Regra da cadeia: se
então . - Aqui
tem , logo
- Regra da cadeia: se
- Regra do produto:
- Se
então .
- Se
Passo 4
Aplicando as fórmulas passo a passo:
- Defino
e . - Já calculei:
- Pela regra do produto:
- Reescrevendo:
Passo 5
Simplificação algébrica final (fazer a forma mais limpa para a prova):
- Substituo
dentro do parêntese: - Coloco em denominador comum
: (Passo intermédio: ao expandir, .) - Substituindo de volta em
: - Opcionalmente escrevendo
, obtém-se a forma: - Observação final de domínio: essa expressão vale para
e , que são as condições iniciais.