Calcule a derivada das funções abaixo, simplificando sempre que possível:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função é o produto de duas funções elementares:
e . - Deve-se simplificar o resultado sempre que possível.
Passo 2
Regra que vamos usar primeiro: a regra do produto. Se
e
são funções diferenciáveis, então a derivada do produto é
Aqui vamos tomar
e
. Vou explicar como obter
e
a seguir, passo a passo.
Passo 3
Derivada de
.
Conhecimento útil: a função exponencial
é especial porque sua derivada é ela mesma. Ou seja,
Portanto, neste problema,
Passo 4
Derivada de
(ou seja,
) — dedução por diferenciação implícita.
Defina
. Isso significa que
com
(intervalo de definição principal do arco-seno). Diferenciando ambos os lados em relação a
, usando a regra da cadeia no lado esquerdo:
Logo
Agora, como
, podemos escrever
em função de
usando a identidade
. Tomando a raiz positiva (porque
para
):
Portanto
Observação prática para prova: sempre mencione o domínio onde essa derivada existe, pois em
a raiz no denominador zera.
Passo 5
Aplicando a regra do produto com os resultados obtidos:
Temos
e
. Pela regra do produto,
Substituindo:
Fatorando
para simplificar (forma útil em prova):
válida para
.
Passo 6
Resumo final e dica de apresentação na prova: escreva a derivada já fatorada por
, indicando o intervalo de validade
por causa do termo
no denominador. Isso mostra que você conhece tanto a técnica quanto as condições de existência.