Calcule a derivada das funções abaixo, simplificando sempre que possível:
f(x)=e^{x} \operatorname{arcsen} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=e^{x}\operatorname{arcsen}x.
Informações dadas:
  • A função é o produto de duas funções elementares: e^{x} e \operatorname{arcsen}x.
  • Deve-se simplificar o resultado sempre que possível.

Passo 2

Regra que vamos usar primeiro: a regra do produto. Se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então a derivada do produto é
(u\cdot v)' = u'\,v + u\,v'.
Aqui vamos tomar u(x)=e^{x} e v(x)=\operatorname{arcsen}x. Vou explicar como obter u' e v' a seguir, passo a passo.

Passo 3

Derivada de u(x)=e^{x}.
Conhecimento útil: a função exponencial e^{x} é especial porque sua derivada é ela mesma. Ou seja,
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Portanto, neste problema,
u'(x)=e^{x}.

Passo 4

Derivada de v(x)=\operatorname{arcsen}x (ou seja, v(x)=\arcsin x) — dedução por diferenciação implícita.
Defina y=\operatorname{arcsen}x. Isso significa que
\sin y = x,
com y\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right] (intervalo de definição principal do arco-seno). Diferenciando ambos os lados em relação a x, usando a regra da cadeia no lado esquerdo:
\cos y\cdot \frac{dy}{dx}=1.
Logo
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y}.
Agora, como \sin y = x, podemos escrever \cos y em função de x usando a identidade \cos^{2}y=1-\sin^{2}y. Tomando a raiz positiva (porque \cos y\ge 0 para y\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]):
\cos y=\sqrt{1-\sin^{2}y}=\sqrt{1-x^{2}}.
Portanto
\frac{d}{dx}\operatorname{arcsen}x=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},\qquad\text{para }-1<x<1.
Observação prática para prova: sempre mencione o domínio onde essa derivada existe, pois em x=\pm1 a raiz no denominador zera.

Passo 5

Aplicando a regra do produto com os resultados obtidos:
Temos u'(x)=e^{x} e v'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}. Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo:
f'(x)=e^{x}\operatorname{arcsen}x + e^{x}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Fatorando e^{x} para simplificar (forma útil em prova):
f'(x)=e^{x}\left(\operatorname{arcsen}x + \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right),
válida para -1<x<1.

Passo 6

Resumo final e dica de apresentação na prova: escreva a derivada já fatorada por e^{x}, indicando o intervalo de validade (-1,1) por causa do termo \sqrt{1-x^{2}} no denominador. Isso mostra que você conhece tanto a técnica quanto as condições de existência.

Resposta

f'(x)=e^{x}\left(\operatorname{arcsen}x + \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)

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