(6,0) Calcule a derivada das funções abaixo usando limite (definição de derivada):
f(x)=2 x^{2}+3 x+2;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x) = 2 x^2 + 3 x + 2
usando a definição de derivada via limite. Vamos precisar da fórmula
f'(x) = limh to 0 f(x+h) - f(x)h

Passo 2

Calcular f(x+h). Substituindo x por x+h em f, temos
f(x+h) = 2,(x+h)^2 + 3,(x+h) + 2 = 2l(x^2 + 2 x h + h^2r) + 3x + 3h + 2 = 2x^2 + 4x h + 2h^2 + 3x + 3h + 2

Passo 3

Formar a diferença f(x+h) - f(x):
f(x+h) - f(x) = l(2x^2 + 4x h + 2h^2 + 3x + 3h + 2r) - l(2x^2 + 3x + 2r) = 4x h + 2h^2 + 3h

Passo 4

Construir o quociente de diferença e simplificar:
f(x+h) - f(x)h = 4x h + 2h^2 + 3hh = 4x + 2h + 3

Passo 5

Aplicar o limite quando h to 0:
f'(x) = limh to 0 l(4x + 2h + 3r) = 4x + 3

Resposta

f'(x) = 4x + 3

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