Sejam P(x) e Q(x) polinômios tais que P(x0)=0, Q(x0)=0 e Q^prime(x0) neq 0. Mostre que
lim x x0 P(x)Q(x)=P^prime(x0)Q^prime(x0)
(Sugestão: desenvolva P(x) e Q(x) em potências de (x-x0) e simplifique.)

Passo 1

O enunciado diz que P e Q são polinômios com
P(x0)=0, Q(x0)=0, Q'(x0)neq 0
e pede o valor de
limxto x0P(x)Q(x)
Como sugerido, vamos desenvolver P e Q em potências de (x - x0) (isto é, usar o desenvolvimento tipo Taylor até a ordem necessária) e depois simplificar o fator comum.

Passo 2

Escrevendo o desenvolvimento em torno de x0, temos
P(x)=sumk=0^nak(x-x0)^k =a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+cdots
Como P(x0)=a0=0, isso vira
P(x)=(x-x0)l(a1+a2(x-x0)+cdotsr) =(x-x0),R(x),
onde R(x) é outro polinômio. Pela definição de derivada,
P'(x0) =limxto x0P(x)-P(x0)x-x0 =limxto x0P(x)x-x0 =R(x0)=a1
De modo análogo, escrevemos
Q(x)=sumk=0^mbk(x-x0)^k =b0+b1(x-x0)+cdots,
com b0=Q(x0)=0, logo
Q(x)=(x-x0),S(x),
onde S(x) é polinômio e
Q'(x0)=S(x0)=b1neq 0

Passo 3

Para xneq x0 podemos simplificar o fator (x-x0):
P(x)Q(x) =(x-x0),R(x)(x-x0),S(x) =R(x)S(x)
Agora basta passar ao limite xto x0. Como R e S são contínuos,
limxto x0P(x)Q(x) =limxto x0R(x)S(x) =R(x0)S(x0) =P'(x0)Q'(x0)

Resposta

limxto x0P(x)Q(x) =P'(x0)Q'(x0)

Exercícios relacionados