Sejam
e
polinômios tais que
e
. Mostre que
(Sugestão: desenvolva
e
em potências de
e simplifique.)
Passo 1
O enunciado diz que
e
são polinômios com
e pede o valor de
Como sugerido, vamos desenvolver
e
em potências de
(isto é, usar o desenvolvimento tipo Taylor até a ordem necessária) e depois simplificar o fator comum.
Passo 2
Escrevendo o desenvolvimento em torno de
, temos
Como
, isso vira
onde
é outro polinômio. Pela definição de derivada,
De modo análogo, escrevemos
com
, logo
onde
é polinômio e
Passo 3
Para
podemos simplificar o fator
:
Agora basta passar ao limite
. Como
e
são contínuos,