Calcule a soma da série
Sugestão: Derive a função:
Sugestão: Derive a função:
Passo 1
A série que queremos calcular é
. O conteúdo aqui é séries de potências e vamos usar a expansão da série geométrica
e depois derivar para gerar um fator
.
Passo 2
Começamos lembrando da série geométrica padrão:
Passo 3
Passo 4
\frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n, \qquad |x|<1
Passo 5
]
Passo 6
Essa expressão é válida para
e gera todos os termos
.
Passo 7
Agora derivamos ambos os lados em relação a
. Do lado esquerdo temos a derivada de
e do direito a derivada termo a termo:
Passo 8
Passo 9
\frac{d}{dx}\biggl(\frac{1}{1-x}\biggr) = \frac{d}{dx}\Bigl(\sum_{n=0}{\infty}xn\Bigr)
Passo 10
]
Passo 11
O resultado é:
Passo 12
Passo 13
\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=1}{\infty}n,x{n-1}
Passo 14
]
Passo 15
Perceba que o somatório agora começa em
, pois o termo
se anula na derivada, e apareceu um fator
.
Passo 16
Para obter
em vez de
, basta multiplicar por
:
Passo 17
Passo 18
\frac{x}{(1-x)^2} = \sum_{n=1}{\infty}n,xn
Passo 19
]
Passo 20
Pronto: essa é a fórmula geral para
.
Passo 21
Finalmente, fazemos
para casar com nossa série
:
Passo 22
Passo 23
\sum_{n=1}{\infty}\frac{n}{3n} = \frac{\tfrac{1}{3}}{\bigl(1-\tfrac{1}{3}\bigr)^2} = \frac{1/3}{(2/3)^2} = \frac{1/3}{4/9} = \frac{1}{3}\cdot\frac{9}{4} = \frac{3}{4}.
Passo 24
]