Calcule a soma da série sumn=1^infty n3^n
Sugestão: Derive a função: 11-x=sumn=0^infty x^n, |x|<1

Passo 1

A série que queremos calcular é sumn=1^inftyn3^n. O conteúdo aqui é séries de potências e vamos usar a expansão da série geométrica 11-x=sumn=0^inftyx^n e depois derivar para gerar um fator n.

Passo 2

Começamos lembrando da série geométrica padrão:

Passo 3

Passo 4

\frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n, \qquad |x|<1

Passo 5

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Passo 6

Essa expressão é válida para |x|<1 e gera todos os termos x^n.

Passo 7

Agora derivamos ambos os lados em relação a x. Do lado esquerdo temos a derivada de 11-x e do direito a derivada termo a termo:

Passo 8

Passo 9

\frac{d}{dx}\biggl(\frac{1}{1-x}\biggr) = \frac{d}{dx}\Bigl(\sum_{n=0}{\infty}xn\Bigr)

Passo 10

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Passo 11

O resultado é:

Passo 12

Passo 13

\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=1}{\infty}n,x{n-1}

Passo 14

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Passo 15

Perceba que o somatório agora começa em n=1, pois o termo n=0 se anula na derivada, e apareceu um fator n.

Passo 16

Para obter n,x^n em vez de n,x^n-1, basta multiplicar por x:

Passo 17

Passo 18

\frac{x}{(1-x)^2} = \sum_{n=1}{\infty}n,xn

Passo 19

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Passo 20

Pronto: essa é a fórmula geral para sum n x^n.

Passo 21

Finalmente, fazemos x=tfrac13 para casar com nossa série sum n/3^n=sum n(1/3)^n:

Passo 22

Passo 23

\sum_{n=1}{\infty}\frac{n}{3n} = \frac{\tfrac{1}{3}}{\bigl(1-\tfrac{1}{3}\bigr)^2} = \frac{1/3}{(2/3)^2} = \frac{1/3}{4/9} = \frac{1}{3}\cdot\frac{9}{4} = \frac{3}{4}.

Passo 24

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Resposta

3/4

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