Determine os pontos de continuidade de:
h(x, y)=clx^2 y^32 x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 1, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
h(x, y) = dfracx^2y^32x^2 + y^2, & (x,y)neq(0,0),[1em] 1, & (x,y)=(0,0),
e pede os pontos em que h é contínua. O conteúdo principal é continuidade de funções de duas variáveis: sabemos que quocientes de polinômios são contínuos onde o denominador não zera, e resta analisar o ponto (0,0).]

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0), o denominador 2x^2+y^2 é positivo, logo
(x,y)mapsto x^2y^32x^2+y^2
é quociente de polinômios sem zeros no denominador, portanto contínua em todo ponto fora de (0,0).

Passo 3

Em (0,0) precisamos calcular
L = lim(x,y)to(0,0) x^2y^32x^2+y^2
Use coordenadas polares x = rcostheta, y = rsintheta. Então
x^2y^32x^2+y^2 = r^2cos^2theta;l(rsinthetar)^32r^2cos^2theta + r^2sin^2theta = r^5cos^2thetasin^3thetar^2(2cos^2theta + sin^2theta) = r^3,cos^2thetasin^3theta2cos^2theta + sin^2theta
Como o fator em theta é limitado, ao fazer rto0 obtemos L=0.

Passo 4

O valor definido em (0,0) é h(0,0)=1, mas o limite da expressão é 0neq1. Logo h não é contínua em (0,0).

Resposta

A função h é contínua em todos os pontos (x,y)neq(0,0) e descontínua em (0,0).

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