(6,0) Calcule a derivada das funções abaixo usando limite (definição de derivada):
f(x)=raiz2 x-1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=raiz2x-1 usando a definição por limite. O conteúdo principal é a definição de derivada como quociente incremental
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h,
e vamos precisar racionalizar o numerador para simplificar a expressão.

Passo 2

Escrevemos o quociente incremental para f:
f(x+h)-f(x)h =raiz2(x+h)-1-raiz2x-1h =raiz2x+2h-1-raiz2x-1h

Passo 3

Racionalizamos o numerador multiplicando por raiz2x+2h-1+raiz2x-1:
raiz2x+2h-1-raiz2x-1h cdotraiz2x+2h-1+raiz2x-1raiz2x+2h-1+raiz2x-1 =(2x+2h-1)-(2x-1)hl(raiz2x+2h-1+raiz2x-1r)
O numerador fica
(2x+2h-1)-(2x-1)=2h,
logo o quociente torna-se
2hhl(raiz2x+2h-1+raiz2x-1r) =2raiz2(x+h)-1+raiz2x-1

Passo 4

Agora fazemos o limite hto0 nessa expressão:
f'(x)=limhto02raiz2(x+h)-1+raiz2x-1 =2raiz2x-1+raiz2x-1 =22raiz2x-1

Passo 5

Simplificando, obtemos
f'(x)=1raiz2x-1

Resposta

f'(x)=1raiz2x-1(para (x>tfrac12))

Exercícios relacionados