Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 de f em torno de (\mathrm{x}_{0})
sen(x) em torno de 0

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função f(x)=sin(x) e queremos o polinômio de Taylor de ordem 5 em torno de x0=0. Para isso vamos usar derivadas sucessivas de f avaliadas em zero e aplicar a fórmula de Taylor.

Passo 2

Calculamos as derivadas de f até a quinta ordem e avaliamos em zero:
f(x)=sin(x), f(0)=0;
f'(x)=cos(x), f'(0)=1;
f''(x)=-sin(x), f''(0)=0;
f'''(x)=-cos(x), f'''(0)=-1;
f^(4)(x)=sin(x), f^(4)(0)=0;
f^(5)(x)=cos(x), f^(5)(0)=1

Passo 3

Aplicamos a fórmula do polinômio de Taylor de ordem 5 em torno de zero:
P5(x)=sumk=0^5f^(k)(0)k!,x^k

Passo 4

Substituindo os valores das derivadas em zero e simplificando, obtemos:
P5(x) =00!x^0 +11!x +02!x^2 +-13!x^3 +04!x^4 +15!x^5 =x-x^36+x^5120

Resposta

P5(x)=x-x^36+x^5120

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