O problema de valor inicial:
possui duas soluções distintas:
e
. Por que isso não contradiz o Teorema de Existência e Unicidade?
Passo 1
Resumindo, temos o problema de valor inicial
,
. O conteúdo envolve o Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf para equações na forma
, onde precisamos verificar se
e
são contínuas (ou se
é Lipschitz em
) numa vizinhança de
.
Passo 2
Para resolver a equação, isolamos
obtendo as duas ramificações abaixo.
Verificamos que
é solução trivial porque então
e
, com
. A outra solução é
, pois aí
e
além de satisfazer
.
Passo 3
O Teorema de Picard-Lindelöf afirma que se
e
são contínuas num retângulo ao redor de
, então existe uma única solução passando por aquele ponto inicial.
Passo 4
Aqui, ao escrevermos
, temos
cuja derivada em relação a
é
que não é finita nem contínua em
. Portanto
não satisfaz a condição de Lipschitz nem a continuidade de
em torno de
.
Passo 5
Como a hipótese de unicidade do teorema não se aplica (não há Lipschitz em
perto de
), não há contradição em existir mais de uma solução que satisfaça
.
Resposta
Não contradiz o teorema porque a função
falha em ser Lipschitz (ou ter
contínua) em
, de modo que a unicidade não está garantida.