O problema de valor inicial:
(y^prime)^2=4 y, y(0)=0
possui duas soluções distintas: y(x)=0 e y(x)=x^2. Por que isso não contradiz o Teorema de Existência e Unicidade?

Passo 1

Resumindo, temos o problema de valor inicial (y')^2=4y, y(0)=0. O conteúdo envolve o Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf para equações na forma y'=f(x,y), onde precisamos verificar se f e partial f/partial y são contínuas (ou se f é Lipschitz em y) numa vizinhança de (x0,y0)=(0,0).

Passo 2

Para resolver a equação, isolamos (y')^2=4y obtendo as duas ramificações abaixo.
y' = 2raizy
y' = -2raizy
Verificamos que y(x)=0 é solução trivial porque então y'=0 e (y')^2=0=4y, com y(0)=0. A outra solução é y(x)=x^2, pois aí y'=2x e
(y')^2 = (2x)^2 = 4x^2 = 4y,
além de satisfazer y(0)=0.

Passo 3

O Teorema de Picard-Lindelöf afirma que se f(x,y) e partial fpartial y(x,y) são contínuas num retângulo ao redor de (x0,y0), então existe uma única solução passando por aquele ponto inicial.

Passo 4

Aqui, ao escrevermos y' = 2raizy, temos
f(y) = 2raizy,
cuja derivada em relação a y é
ddyl(2raizyr) = 1raizy,
que não é finita nem contínua em y=0. Portanto f não satisfaz a condição de Lipschitz nem a continuidade de partial f/partial y em torno de y=0.

Passo 5

Como a hipótese de unicidade do teorema não se aplica (não há Lipschitz em y perto de y=0), não há contradição em existir mais de uma solução que satisfaça y(0)=0.

Resposta

Não contradiz o teorema porque a função f(y)=pm2raizy falha em ser Lipschitz (ou ter partial f/partial y contínua) em y=0, de modo que a unicidade não está garantida.

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