Calcule a integral de linha integralC 2 x y d x+(x^2+y^2) d y, onde C é o arco de circulo C(t)=(cos t, sen t), 0 <= t <= pi2

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
A gente quer calcular a integral de linha
integralC 2xy,dx + (x^2 + y^2),dy
onde C é o arco do círculo dado por
C(t) = (cos t,;sin t), 0<= t<= tfracpi2
Conteúdo: integrais de linha, parametrização de curvas, manipulação de identidades trigonométricas.
O que vamos precisar:
  • Parametrizar x e y em função de t.
  • Calcular dx e dy.
  • Substituir tudo na integral e resolver usando integração de funções trigonométricas.

Passo 2

Parametrização da curva e cálculo de dx,dy
Já foi dada a parametrização:
x(t)=cos t, y(t)=sin t
Para passar a integral em x,y para integral em t, precisamos de
dx = dxdt,dt = -sin t,dt, dy = dydt,dt = cos t,dt
Aqui a teoria envolvida é simples: toda curva suave pode ser escrita em função de um parâmetro t, e essa mudança faz dx virar dot x(t),dt.

Passo 3

Substituição na integral
A integral vira
integral0^pi/2l[2x(t)y(t),dx + l(x(t)^2+y(t)^2r),dyr] =integral0^pi/2l[2cos tsin t,(-sin t,dt) +(cos^2t+sin^2t),(cos t,dt)r]
Vamos simplificar cada parte:
  1. 2cos tsin tcdot(-sin t) = -2cos tsin^2t.
  2. cos^2t+sin^2t = 1 (identidade trig básica).
    Então o integrando fica
-2cos tsin^2t + 1cdotcos t = cos tl(1 - 2sin^2tr)

Passo 4

Uso de identidade trig e preparo para integrar
Repara que
1 - 2sin^2t = cos(2t)
pela identidade de ângulo duplo. Logo o integrando é
cos t;cos2t
Para integrar cos tcos2t, usamos a fórmula de produto para soma:
cos tcos2t =tfrac12l[cos(3t)+cos(-t)r] =tfrac12l[cos3t+cos tr]
(Isso facilita a antiderivação, porque sabemos integrar cos kt facilmente.)

Passo 5

Integração e avaliação dos limites
Agora calculamos
integral0^pi/2cos tcos2t,dt =tfrac12integral0^pi/2l(cos3t+cos tr),dt =tfrac12l[integralcos3t,dt + integralcos t,dtr]0^pi/2
Antiderivadas:
integralcos3t,dt = tfrac13sin3t, integralcos t,dt = sin t
Então
tfrac12l[tfrac13sin3t + sin tr]0^pi/2 =tfrac12l(tfrac13sintfrac3pi2 + sintfracpi2 -l[0+0r]r)
Como sin(3pi/2)=-1 e sin(pi/2)=1, fica
tfrac12l(tfrac13cdot(-1) + 1r) =tfrac12l(-tfrac13 + 1r) =tfrac12cdottfrac23 =tfrac13

Resposta

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