Calcule a integral de linha
, onde
é o arco de circulo
, sen
,
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo
A gente quer calcular a integral de linha
A gente quer calcular a integral de linha
onde
é o arco do círculo dado por
Conteúdo: integrais de linha, parametrização de curvas, manipulação de identidades trigonométricas.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Parametrizar
e em função de . - Calcular
e . - Substituir tudo na integral e resolver usando integração de funções trigonométricas.
Passo 2
Parametrização da curva e cálculo de
Já foi dada a parametrização:
Já foi dada a parametrização:
Para passar a integral em
para integral em
, precisamos de
Aqui a teoria envolvida é simples: toda curva suave pode ser escrita em função de um parâmetro
, e essa mudança faz
virar
.
Passo 3
Substituição na integral
A integral vira
A integral vira
Vamos simplificar cada parte:
-
. -
(identidade trig básica).
Então o integrando fica
Passo 4
Uso de identidade trig e preparo para integrar
Repara que
Repara que
pela identidade de ângulo duplo. Logo o integrando é
Para integrar
, usamos a fórmula de produto para soma:
(Isso facilita a antiderivação, porque sabemos integrar
facilmente.)
Passo 5
Integração e avaliação dos limites
Agora calculamos
Agora calculamos
Antiderivadas:
Então
Então
Como
e
, fica