Questão 19. (Definição de Limite)
Demonstre cada afirmação usando a definição por epsilon e de<a.
lim x -1 7=7

Passo 1

O enunciado pede pra provar, usando a definição formal (ε–δ), que
limx to -1 7 ;=; 7
Conteúdo: definição de limite de função em um ponto.
O que vamos precisar:
  1. Saber a definição de limite ε–δ.
  2. Ver como ela funciona quando a função é constante.

Passo 2

Vamos lembrar a definição: dizemos que
limx to a f(x) = L
se, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que, sempre que
0 < |x - a| < de<a,
então
|f(x) - L| < varepsilon

Passo 3

Aqui temos a = -1, f(x) = 7 e L = 7.
Então calculemos
|f(x) - L| = |,7 - 7,| = 0
Repara que, não importa qual x esteja perto de -1, esse valor é sempre zero.

Passo 4

Como 0 < varepsilon é dado arbitrariamente, e nós temos
|f(x)-L| = 0 < varepsilon
para qualquer escolha de de<a>0, basta tomar, por exemplo, de<a = 1 (ou qualquer outro número positivo). A condição
0<|x-(-1)|<de<a
implica |f(x)-7| = 0 < varepsilon. Pronto: a definição está satisfeita.

Resposta

limx to -1 7 = 7

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