Calcule a derivada das funções abaixo usando a regra da cadeia.
f(x)=x e^{3 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função f(x)=x e^{3x}. Informações dadas:
  • A função é f(x)=x e^{3x}.
  • A tarefa é encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Observação importante sobre a estrutura da função: f(x) é produto de duas funções de x:
  • uma função u(x)=x,
  • e outra função v(x)=e^{3x}.
Como a função é um produto u(x)\cdot v(x), vamos usar a regra do produto para derivar.

Passo 3

Apresentando a regra do produto (explicando cada símbolo):
\text{Se }u(x)\text{ e }v(x)\text{ são diferenciáveis, então }(u\cdot v)'=u'\,v+u\,v'.ãáã
Aqui:
  • u'(x) é a derivada de u(x) em relação a x,
  • v'(x) é a derivada de v(x) em relação a x,
  • o resultado (u\cdot v)' significa a derivada do produto.

Passo 4

Calculo u'(x) e v'(x):
  • Para u(x)=x, a derivada é u'(x)=1 porque a derivada de x é 1.
  • Para v(x)=e^{3x} precisamos da regra da cadeia. A regra da cadeia (explicada) diz:
\text{Se }w(x)=e^{g(x)},\text{ então }w'(x)=e^{g(x)}\cdot g'(x).ã
Aqui g(x) é a “função interna” e g'(x) é sua derivada. No nosso caso g(x)=3x, então g'(x)=3. Assim
v'(x) = e^{3x}\cdot 3 = 3e^{3x}.

Passo 5

Agora aplico a regra do produto substituindo u, u', v, v':
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo os valores:
f'(x)=1\cdot e^{3x} + x\cdot (3e^{3x}).

Passo 6

Simplifico a expressão fatorando e^{3x}:
f'(x)=e^{3x} + 3x e^{3x} = e^{3x}\,(1+3x).
Essa é a forma simplificada e final da derivada. (Como verificação rápida: para uma função do tipo x e^{ax} a derivada costuma ser e^{ax}(1+ax).)

Resposta

f'(x)=e^{3x}\,(1+3x)

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