Calcule a derivada das funções abaixo usando a regra da cadeia.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
. Informações dadas:
- A função é
. - A tarefa é encontrar
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Observação importante sobre a estrutura da função:
é produto de duas funções de
:
- uma função
, - e outra função
.
Como a função é um produto
, vamos usar a regra do produto para derivar.
Passo 3
Apresentando a regra do produto (explicando cada símbolo):
Aqui:
-
é a derivada de em relação a , -
é a derivada de em relação a , - o resultado
significa a derivada do produto.
Passo 4
Calculo
e
:
- Para
, a derivada é porque a derivada de é . - Para
precisamos da regra da cadeia. A regra da cadeia (explicada) diz:
Aqui
é a “função interna” e
é sua derivada. No nosso caso
, então
. Assim
Passo 5
Agora aplico a regra do produto substituindo
:
Substituindo os valores:
Passo 6
Simplifico a expressão fatorando
:
Essa é a forma simplificada e final da derivada. (Como verificação rápida: para uma função do tipo
a derivada costuma ser
.)