Calcule a derivada das funções abaixo:
y=\frac{\cos 3 x}{e^{x}}\

Passo 1

O enunciado dá a função y=\dfrac{\cos 3 x}{e^{x}} e pede para calcular a derivada de y em relação a x.
Informações relevantes que temos:
  • A função está explícita e é composta por funções elementares ( \cos, exponencial e uma multiplicação/divisão por funções de x).
  • O objetivo é encontrar \dfrac{dy}{dx} (ou y').

Passo 2

Escolha do método e fórmulas que vamos usar.
É mais prático reescrever a função como produto, usando e^{-x}=\dfrac{1}{e^{x}}. Assim:
y = e^{-x}\cos(3x).
Vamos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia. Lembretes:
(uv)' = u'v + uv',
onde u=u(x) e v=v(x).
Regra da cadeia (caso de função composta f(g(x))):
\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x).
Também vale para exponencial:
\frac{d}{dx}e^{u(x)}=e^{u(x)}\cdot u'(x).

Passo 3

Definir as funções u e v do produto.
Tome
u(x)=e^{-x},\qquad v(x)=\cos(3x).
Agora vamos calcular u'(x) e v'(x) separadamente.

Passo 4

Calcular u'(x).
Usando a regra da cadeia para u(x)=e^{-x}, o derivado do expoente -x é -1. Portanto:
u'(x)=e^{-x}\cdot(-1)=-e^{-x}.

Passo 5

Calcular v'(x).
Para v(x)=\cos(3x) aplicamos a regra da cadeia: a derivada de \cos(u) é -\sin(u) vezes u'. Aqui u(x)=3x e u'(x)=3. Logo:
v'(x)=-\sin(3x)\cdot 3 = -3\sin(3x).

Passo 6

Aplicar a regra do produto e substituir u',u,v',v.
y' = u'v + uv' = \bigl(-e^{-x}\bigr)\cos(3x) + e^{-x}\bigl(-3\sin(3x)\bigr).
Agora simplificar somando os termos:
y' = -e^{-x}\cos(3x) - 3e^{-x}\sin(3x).

Passo 7

Fatorar e^{-x} para uma forma mais compacta:
y' = -e^{-x}\bigl(\cos(3x)+3\sin(3x)\bigr).
Se preferir escrita com divisão por e^{x}, é equivalente a
y' = -\dfrac{\cos(3x)+3\sin(3x)}{e^{x}}.

Resposta

y'=-e^{-x}\bigl(\cos(3x)+3\sin(3x)\bigr)

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