Calcule a derivada das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada de
em relação a
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A função está explícita e é composta por funções elementares (
, exponencial e uma multiplicação/divisão por funções de ). - O objetivo é encontrar
(ou ).
Passo 2
Escolha do método e fórmulas que vamos usar.
É mais prático reescrever a função como produto, usando . Assim:
É mais prático reescrever a função como produto, usando
Vamos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia. Lembretes:
onde
e
.
Regra da cadeia (caso de função composta ):
Regra da cadeia (caso de função composta
Também vale para exponencial:
Passo 3
Definir as funções
e
do produto.
Tome
Tome
Agora vamos calcular
e
separadamente.
Passo 4
Calcular
.
Usando a regra da cadeia para , o derivado do expoente
é
. Portanto:
Usando a regra da cadeia para
Passo 5
Calcular
.
Para aplicamos a regra da cadeia: a derivada de
é
vezes
. Aqui
e
. Logo:
Para
Passo 6
Aplicar a regra do produto e substituir
.
Agora simplificar somando os termos:
Passo 7
Fatorar
para uma forma mais compacta:
Se preferir escrita com divisão por
, é equivalente a