Calcule a derivada das funções:
b) f(x)=-2

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede a sua derivada. Informações claras:
  • Função dada: f(x) = -2.
  • O que pedir: calcular a derivada f'(x) (ou \dfrac{df}{dx}) para todo x.

Passo 2

Vou usar a definição de derivada por limite, que é a forma básica e rigorosa. A definição diz:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui:
  • f'(x) é a derivada de f no ponto x.
  • h é um incremento pequeno em x e fazemos h\to 0.
  • A expressão \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} é o coeficiente angular da secante entre x e x+h; o limite dá a inclinação da tangente.

Passo 3

Agora aplico a definição à função constante f(x)=-2. Primeiro calculo a diferença do numerador:
f(x+h)-f(x)=(-2)-(-2)=0.
Portanto o quociente diferença é
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{0}{h}=0\quad\text{para todo }h\neq0.

Passo 4

Tomando o limite quando h\to0 do quociente obtido:
f'(x)=\lim_{h\to0}0=0.
Logo a derivada existe em todo x e vale zero.

Passo 5

Comentário didático e intuição: a regra geral (regra do constante) é que a derivada de qualquer constante c é zero, isto é \dfrac{d}{dx}c=0. Geometricamente, y=c é uma reta horizontal, cuja inclinação é zero — por isso a derivada (a inclinação da tangente) é 0. Exemplo rápido: \dfrac{d}{dx}(7)=0, \dfrac{d}{dx}(-2)=0.

Resposta

f'(x)=0

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