Descreva a superfície de Riemann da função f(z)=\left(z^{2}-1\right)^{1 / 3}.

Passo 1

O enunciado pede: descrever a superfície de Riemann da função \,f(z)=\left(z^{2}-1\right)^{1/3}\,.
Informações dadas (explicitadas):
  • A função é multivalorada por causa da raiz cúbica.
  • O ramo interno é o polinômio \,z^{2}-1\. Não há outras informações numéricas; tudo deve ser deduzido da forma algébrica.

Passo 2

Transformar o problema em um problema sobre uma curva algébrica, que é a forma natural de descrever a superfície de Riemann. Defino uma nova variável \,y tal que
y = \left(z^{2}-1\right)^{1/3}.
Isso é equivalente à curva algébrica affine
y^{3} = z^{2}-1.
A superfície de Riemann pedida é exatamente a curva complexa dada pelo conjunto de pontos (z,y)\in\mathbb{C}^{2} satisfazendo essa equação, considerada como uma superfície sobre a esfera de Riemann via a projeção (z,y)\mapsto z. Em linguagem prática: a superfície é o lugar onde a raiz cúbica fica bem escolhida como função simples e unívoca — isto é, a “desdobradeira” dos três valores de \,f(z)\,.

Passo 3

Encontrar os pontos de ramificação (branch points) finitos. Para a projeção \pi:(z,y)\mapsto z os pontos ramificados são aqueles onde as folhas se juntam, isto é, onde duas ou mais soluções em \,y colidem. Uma condição prática é olhar para a derivada parcial em relação a \,y da função F(z,y)=y^{3}-z^{2}+1. Pontos de ramificação satisfazem
\frac{\partial F}{\partial y}=3y^{2}=0,
logo \,y=0. Substituindo em F=0
0^{3}-z^{2}+1=0\quad\Rightarrow\quad z^{2}=1,
ou seja os pontos finitos de ramificação são \,z=1 e \,z=-1. Estes são pontos onde todas as três folhas se juntam localmente (ver Passo 4).

Passo 4

Analisar o comportamento local perto de um branch point finito, por exemplo \,z=1. Escrevo z=1+w com w pequeno. Então
y^{3} = z^{2}-1 = (1+w)^{2}-1 = 2w + w^{2}.
Para w muito pequeno, y^{3}\approx 2w, logo
y \approx (2w)^{1/3}.
Isso mostra que ao dar uma volta em torno de z=1 (variando o argumento de w por 2\pi) a variável y é multiplicada por e^{2\pi i/3}: as três folhas são permutadas ciclicamente. Em termos de ramificação, há um único ponto de \pi^{-1}(1) (ou seja, uma única folha sobre z=1) com índice de ramificação igual a 3 (ramificação total de ordem 3). O mesmo raciocínio vale para z=-1.

Passo 5

Verificar o ponto no infinito (compactificação): homogenizo a equação para estudar pontos em \mathbb{P}^{2}. Em coordenadas homogêneas (Z:Y:T) com z=Z/T e y=Y/T a equação fica
Y^{3}-Z^{2}T+T^{3}=0.
Pontos no infinito têm T=0. Para T=0 a equação dá Y^{3}=0, logo Y=0 e podemos tomar Z\neq0. Há, portanto, um único ponto na linha do infinito, que pode ser representado por (Z:Y:T)=(1:0:0). Assim a curva tem exatamente um ponto em \infty.

Passo 6

Determinar a ramificação em \infty. Use as coordenadas locais no cartão Z=1: ponha \tau=T/Z e \xi=Y/Z. Então z=1/\tau e y=\xi/\tau. A equação fica
\xi^{3}-\tau+\tau^{3}=0.
Perto de \tau=0 (o ponto do infinito) esta relação tem a forma \tau = \xi^{3} + \text{(termos superiores)}. Assim \xi é um parâmetro local e
z=\frac{1}{\tau}\sim \frac{1}{\xi^{3}}, \qquad y=\frac{\xi}{\tau}\sim \frac{1}{\xi^{2}}.
Portanto, como função do parâmetro local \xi, z comporta-se como \xi^{-3}: a projeção \pi tem índice de ramificação 3 também em \infty. Em resumo: existem três pontos de ramificação (contando \infty) — \,z=1,\;z=-1,\;\infty — e em cada um a ramificação é total de ordem 3 (contribuição e_p-1=2 em cada ponto).

Passo 7

Calcular o gênero da superfície (usar Riemann–Hurwitz). Para uma cobertura de grau n=3 da esfera, a fórmula de Riemann–Hurwitz diz
2-2g = n\cdot 2 - \sum_{p}(e_{p}-1),
onde a soma é sobre todos os pontos ramificados e e_{p} é o índice de ramificação em p. Aqui temos três pontos ramificados e em cada um e_{p}=3, logo
\sum_{p}(e_{p}-1)=3\cdot(3-1)=6.
Assim
2-2g = 3\cdot 2 - 6 = 0 \quad\Rightarrow\quad g=1.
Portanto a superfície de Riemann compacta associada a \,y^{3}=z^{2}-1 tem gênero 1, isto é, topologicamente é um toro.

Passo 8

Descrever explicitamente a construção por folhas e cortes (descrição prática que vale numa prova). Tome três cópias do plano complexo com coordenada z, chame-as de folha 0,1,2. Escolha dois arcos no plano que liguem os pontos de ramificação finitos (por exemplo um arco entre 1 e -1) e outro arco ligando um dos dois a \infty (ou equivalente: escolha uma árvore que conecte os três pontos \{1,-1,\infty\}). Corte cada folha ao longo desses arcos. Em cada aresta do corte, cole o lado direito da folha k com o lado esquerdo da folha k+1 (índices tomados modulo 3). Essa colagem cíclica implementa a monodromia y\mapsto e^{2\pi i/3}y e produz uma superfície conectada sem borda. Topologicamente a superfície obtida tem a forma de um toro e, analiticamente, é a curva compacta dada por y^{3}=z^{2}-1.

Passo 9

Verificar suavidade (não haver singularidades na curva): a curva affine F(z,y)=y^{3}-z^{2}+1 é suave se não existem pontos onde F=\partial F/\partial z=\partial F/\partial y=0 simultaneamente. As equações simultâneas seriam
y^{3}-z^{2}+1=0,\qquad -2z=0,\qquad 3y^{2}=0.
Da segunda e terceira equações obteríamos z=0 e y=0, mas isso não satisfaz a primeira (pois 0^{3}-0^{2}+1=1\neq0). Logo a curva é suave; assim a superfície de Riemann compactificada é uma curva holomorfamente suave de gênero 1 — i.e., uma curva elíptica (uma toro complexa).

Resposta

A superfície de Riemann de \,f(z)=(z^{2}-1)^{1/3}\, é a curva algébrica compacta dada por \,y^{3}=z^{2}-1, que é uma cobertura de grau 3 da esfera de Riemann ramificada exatamente em \,z=1,\;z=-1 e \,z=\infty (ramificação total em cada ponto). Topologicamente e complexamente é de gênero 1 (um toro), ou seja, uma curva elíptica.

Exercícios relacionados