Descreva a superfície de Riemann da função
.
Passo 1
O enunciado pede: descrever a superfície de Riemann da função
.
Informações dadas (explicitadas):
Informações dadas (explicitadas):
- A função é multivalorada por causa da raiz cúbica.
- O ramo interno é o polinômio Não há outras informações numéricas; tudo deve ser deduzido da forma algébrica.
Passo 2
Transformar o problema em um problema sobre uma curva algébrica, que é a forma natural de descrever a superfície de Riemann. Defino uma nova variável
tal que
Isso é equivalente à curva algébrica affine
A superfície de Riemann pedida é exatamente a curva complexa dada pelo conjunto de pontos
satisfazendo essa equação, considerada como uma superfície sobre a esfera de Riemann via a projeção
. Em linguagem prática: a superfície é o lugar onde a raiz cúbica fica bem escolhida como função simples e unívoca — isto é, a “desdobradeira” dos três valores de
.
Passo 3
Encontrar os pontos de ramificação (branch points) finitos. Para a projeção
os pontos ramificados são aqueles onde as folhas se juntam, isto é, onde duas ou mais soluções em
colidem. Uma condição prática é olhar para a derivada parcial em relação a
da função
. Pontos de ramificação satisfazem
logo
. Substituindo em
dá
ou seja os pontos finitos de ramificação são
e
. Estes são pontos onde todas as três folhas se juntam localmente (ver Passo 4).
Passo 4
Analisar o comportamento local perto de um branch point finito, por exemplo
. Escrevo
com
pequeno. Então
Para
muito pequeno,
, logo
Isso mostra que ao dar uma volta em torno de
(variando o argumento de
por
) a variável
é multiplicada por
: as três folhas são permutadas ciclicamente. Em termos de ramificação, há um único ponto de
(ou seja, uma única folha sobre
) com índice de ramificação igual a
(ramificação total de ordem
). O mesmo raciocínio vale para
.
Passo 5
Verificar o ponto no infinito (compactificação): homogenizo a equação para estudar pontos em
. Em coordenadas homogêneas
com
e
a equação fica
Pontos no infinito têm
. Para
a equação dá
, logo
e podemos tomar
. Há, portanto, um único ponto na linha do infinito, que pode ser representado por
. Assim a curva tem exatamente um ponto em
.
Passo 6
Determinar a ramificação em
. Use as coordenadas locais no cartão
: ponha
e
. Então
e
. A equação fica
Perto de
(o ponto do infinito) esta relação tem a forma
. Assim
é um parâmetro local e
Portanto, como função do parâmetro local
,
comporta-se como
: a projeção
tem índice de ramificação
também em
. Em resumo: existem três pontos de ramificação (contando
) —
— e em cada um a ramificação é total de ordem
(contribuição
em cada ponto).
Passo 7
Calcular o gênero da superfície (usar Riemann–Hurwitz). Para uma cobertura de grau
da esfera, a fórmula de Riemann–Hurwitz diz
onde a soma é sobre todos os pontos ramificados e
é o índice de ramificação em
. Aqui temos três pontos ramificados e em cada um
, logo
Assim
Portanto a superfície de Riemann compacta associada a
tem gênero
, isto é, topologicamente é um toro.
Passo 8
Descrever explicitamente a construção por folhas e cortes (descrição prática que vale numa prova). Tome três cópias do plano complexo com coordenada
, chame-as de folha
. Escolha dois arcos no plano que liguem os pontos de ramificação finitos (por exemplo um arco entre
e
) e outro arco ligando um dos dois a
(ou equivalente: escolha uma árvore que conecte os três pontos
). Corte cada folha ao longo desses arcos. Em cada aresta do corte, cole o lado direito da folha
com o lado esquerdo da folha
(índices tomados modulo
). Essa colagem cíclica implementa a monodromia
e produz uma superfície conectada sem borda. Topologicamente a superfície obtida tem a forma de um toro e, analiticamente, é a curva compacta dada por
.
Passo 9
Verificar suavidade (não haver singularidades na curva): a curva affine
é suave se não existem pontos onde
simultaneamente. As equações simultâneas seriam
Da segunda e terceira equações obteríamos
e
, mas isso não satisfaz a primeira (pois
). Logo a curva é suave; assim a superfície de Riemann compactificada é uma curva holomorfamente suave de gênero
— i.e., uma curva elíptica (uma toro complexa).
Resposta
A superfície de Riemann de
é a curva algébrica compacta dada por
, que é uma cobertura de grau
da esfera de Riemann ramificada exatamente em
e
(ramificação total em cada ponto). Topologicamente e complexamente é de gênero
(um toro), ou seja, uma curva elíptica.