Mostre que u(x, y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right) é harmônica para (x, y) \neq(0,0) e encontre sua conjugada harmônica.

Passo 1

O enunciado nos dá a função u(x,y)=\ln\!\big(x^{2}+y^{2}\big) definida em todos os pontos (x,y) exceto a origem (0,0). O que nos pedem:
  • Mostrar que u é harmônica para (x,y)\neq(0,0), isto é, provar que \nabla^{2}u=u_{xx}+u_{yy}=0 nesses pontos.
  • Encontrar uma conjugada harmônica v(x,y) (ou seja, uma função v tal que u+iv é localmente a parte real de uma função holomorfa).
    Informações relevantes dadas: a expressão explícita de u e o fato de que a análise deve ser feita apenas em (x,y)\neq(0,0).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais primeiras de u. Para simplificar, escrevo R(x,y)=x^{2}+y^{2}. Então u(x,y)=\ln R. Aplicando a regra da cadeia:
u_{x}=\frac{1}{R}\cdot\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2x=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}.
u_{y}=\frac{1}{R}\cdot\frac{\partial R}{\partial y}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2y=\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}.
Expliquei: a derivada de \ln t é 1/t e depois multiplica-se pela derivada do argumento R.

Passo 3

Agora calculamos as segundas derivadas. Para u_{x} escrevemos u_{x}=2x\cdot R^{-1} e derivamos em relação a x usando produto e regra da cadeia:
u_{xx}=2\cdot R^{-1} + 2x\cdot(-1)R^{-2}\cdot R_{x}
onde R_{x}=2x. Substituindo:
u_{xx}=\frac{2}{R} - \frac{4x^{2}}{R^{2}}=\frac{2\big(R-2x^{2}\big)}{R^{2}}=\frac{2\big(x^{2}+y^{2}-2x^{2}\big)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=\frac{2\big(-x^{2}+y^{2}\big)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
De forma análoga, para u_{y} obtemos
u_{yy}=\frac{2}{R} - \frac{4y^{2}}{R^{2}}=\frac{2\big(R-2y^{2}\big)}{R^{2}}=\frac{2\big(x^{2}-y^{2}\big)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 4

Somando u_{xx} e u_{yy}:
u_{xx}+u_{yy}=\frac{2\big(-x^{2}+y^{2}\big)}{R^{2}}+\frac{2\big(x^{2}-y^{2}\big)}{R^{2}}=0.
Portanto \nabla^{2}u=0 para todo (x,y) com x^{2}+y^{2}\neq 0. Conclusão: u é harmônica em (x,y)\neq(0,0).

Passo 5

Agora vamos achar uma conjugada harmônica v. Lembrete teórico (curtinho e essencial): se u e v são, respectivamente, parte real e imaginária de uma função holomorfa f=u+iv, então u e v satisfazem as equações de Cauchy–Riemann
u_{x}=v_{y},\qquad u_{y}=-v_{x}.
Se estamos num domínio simplesmente conexo e u é harmônica, existe (localmente) uma função v que satisfaz essas equações, salvo problemas de mono/multivalência (aqui a origem causa esse detalhe: \arg é multi-valuado).

Passo 6

Usamos u_{x}=v_{y}. Já calculamos u_{x}=\dfrac{2x}{x^{2}+y^{2}}. Integramos em relação a y (tratando x como constante):
v(x,y)=\int v_{y}\,dy=\int \frac{2x}{x^{2}+y^{2}}\,dy.
Para essa integral usamos a primitiva conhecida \displaystyle \int\frac{dy}{a^{2}+y^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{y}{a}\right) quando a é constante não nula. Aqui a^{2}=x^{2} e a=|x|, mas tomando x\neq 0 e trabalhando localmente podemos escrever
v(x,y)=2x\cdot\frac{1}{x}\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)+\varphi(x)=2\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)+\varphi(x),
onde \varphi(x) é uma função só de x (constante de integração em relação a y).

Passo 7

Impondo a outra equação de Cauchy–Riemann u_{y}=-v_{x} para determinar \varphi. Calculamos v_{x} a partir de v=2\arctan(y/x)+\varphi(x). A derivada de \arctan(y/x) em relação a x (com y fixo) é -\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}. Assim
v_{x}=2\left(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right)+\varphi'(x)=-\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}+\varphi'(x).
Então -v_{x}=\dfrac{2y}{x^{2}+y^{2}}-\varphi'(x). Mas precisamos que -v_{x}=u_{y} e já temos u_{y}=\dfrac{2y}{x^{2}+y^{2}}. Portanto
\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}-\varphi'(x)=\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}\quad\Rightarrow\quad \varphi'(x)=0.
Logo \varphi é constante: \varphi(x)=C. Assim uma conjugada harmônica (local) é
v(x,y)=2\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)+C.

Passo 8

Interpretação em termos polares e observação sobre domínio: escrevendo x+iy=re^{i\theta} com \theta=\arg(x+iy), temos u(x,y)=\ln r^{2}=2\ln r e a conjugada corresponde a v(x,y)=2\theta (mais precisamente 2\operatorname{Arg}(x+iy)). Como \theta é multi‑valorada ao dar voltas ao redor da origem, v só pode ser definida continuamente numa região simplesmente conexa que não contenha a origem (por exemplo no semiplano x>0 ou no plano com um corte radial saindo da origem). Em tais domínios escolhe‑se um ramo contínuo de \arg e então v=2\arg(x+iy)+C é uma conjugada harmônica global.

Resposta

u é harmônica para (x,y)\neq(0,0), pois \nabla^{2}u=0 nesses pontos.
Uma conjugada harmônica é v(x,y)=2\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right)+C, equivalently v(x,y)=2\operatorname{Arg}(x+iy)+C, definida continuamente em qualquer domínio simplesmente conexo que não contenha a origem.

Exercícios relacionados