Mostre que
é harmônica para
e encontre sua conjugada harmônica.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida em todos os pontos
exceto a origem
. O que nos pedem:
- Mostrar que
é harmônica para , isto é, provar que nesses pontos. - Encontrar uma conjugada harmônica
(ou seja, uma função tal que é localmente a parte real de uma função holomorfa).
Informações relevantes dadas: a expressão explícita dee o fato de que a análise deve ser feita apenas em .
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais primeiras de
. Para simplificar, escrevo
. Então
. Aplicando a regra da cadeia:
Expliquei: a derivada de
é
e depois multiplica-se pela derivada do argumento
.
Passo 3
Agora calculamos as segundas derivadas. Para
escrevemos
e derivamos em relação a
usando produto e regra da cadeia:
onde
. Substituindo:
De forma análoga, para
obtemos
Passo 4
Somando
e
:
Portanto
para todo
com
. Conclusão:
é harmônica em
.
Passo 5
Agora vamos achar uma conjugada harmônica
. Lembrete teórico (curtinho e essencial): se
e
são, respectivamente, parte real e imaginária de uma função holomorfa
, então
e
satisfazem as equações de Cauchy–Riemann
Se estamos num domínio simplesmente conexo e
é harmônica, existe (localmente) uma função
que satisfaz essas equações, salvo problemas de mono/multivalência (aqui a origem causa esse detalhe:
é multi-valuado).
Passo 6
Usamos
. Já calculamos
. Integramos em relação a
(tratando
como constante):
Para essa integral usamos a primitiva conhecida
quando
é constante não nula. Aqui
e
, mas tomando
e trabalhando localmente podemos escrever
onde
é uma função só de
(constante de integração em relação a
).
Passo 7
Impondo a outra equação de Cauchy–Riemann
para determinar
. Calculamos
a partir de
. A derivada de
em relação a
(com
fixo) é
. Assim
Então
. Mas precisamos que
e já temos
. Portanto
Logo
é constante:
. Assim uma conjugada harmônica (local) é
Passo 8
Interpretação em termos polares e observação sobre domínio: escrevendo
com
, temos
e a conjugada corresponde a
(mais precisamente
). Como
é multi‑valorada ao dar voltas ao redor da origem,
só pode ser definida continuamente numa região simplesmente conexa que não contenha a origem (por exemplo no semiplano
ou no plano com um corte radial saindo da origem). Em tais domínios escolhe‑se um ramo contínuo de
e então
é uma conjugada harmônica global.
Resposta
Uma conjugada harmônica é