Calcule a derivada das funções dadas:
f(x)=\cos (\ln (5 x+7)).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\cos\bigl(\ln(5x+7)\bigr).
Aqui vamos usar a regra da cadeia três vezes: para o cosseno, para o logaritmo natural e para a função linear interna.

Passo 2

Definimos
u(x)=\ln(5x+7),
de modo que
f(x)=\cos\bigl(u(x)\bigr).
Pela regra da cadeia,
f'(x)=\frac{d}{du}\bigl[\cos(u)\bigr]\cdot u'(x) =-\sin(u)\cdot u'(x).

Passo 3

Agora calculamos u'(x). Como
u(x)=\ln(5x+7),
temos
u'(x)=\frac{d}{dx}\ln(5x+7) =\frac{(5x+7)'}{5x+7} =\frac{5}{5x+7}.

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) em f'(x), obtemos
f'(x) =-\sin\bigl(\ln(5x+7)\bigr)\,\frac{5}{5x+7} =-\frac{5\,\sin\bigl(\ln(5x+7)\bigr)}{5x+7}.

Resposta

f'(x)=-\frac{5\,\sin\bigl(\ln(5x+7)\bigr)}{5x+7}.

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