Verifique que a função f(x)=e^{x} resolve a equação 2 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-3 \frac{d y}{d x}+y=0. Calcule y(0),\left.\frac{d y}{d x}\right|_{x=0} e \left.\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right|_{x=0}.

Passo 1

O enunciado pede verificar que f(x)=e^x satisfaz a equação diferencial de segunda ordem
2\frac{d^2y}{dx^2}-3\frac{dy}{dx}+y=0,
e em seguida calcular y(0), \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0} e \left.\frac{d^2y}{dx^2}\right|_{x=0}. Vamos usar as propriedades de derivação da função exponencial.

Passo 2

Calcular as derivadas de y=f(x)=e^x. Temos
y' = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x
e
y'' = \frac{d^2}{dx^2}(e^x) = e^x.

Passo 3

Substituir y, y' e y'' na equação diferencial:
2y'' - 3y' + y = 2e^x - 3e^x + e^x = (2 - 3 + 1)e^x = 0
Logo, f(x)=e^x realmente resolve a equação.

Passo 4

Avaliar estes resultados em x=0. Como e^0=1, obtemos:
y(0)=1, \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0}=1 e \left.\frac{d^2y}{dx^2}\right|_{x=0}=1.

Resposta

y(0) = 1
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0} = 1
\left.\frac{d^2y}{dx^2}\right|_{x=0} = 1

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