Calcule a derivada das funções dadas:
f(x)=e^{3 x} \operatorname{sen}(7 x).

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x) = e^{3x}\,\sin(7x).
Aqui vamos usar a regra do produto (para derivar u\cdot v) e a regra da cadeia (para derivar e^{3x} e \sin(7x)).

Passo 2

Definimos
u(x) = e^{3x}, \quad v(x) = \sin(7x).
Pela regra do produto,
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).

Passo 3

Calculamos u'(x) usando a regra da cadeia em e^{3x}:
u'(x) = \frac{d}{dx}e^{3x} = e^{3x}\cdot\frac{d}{dx}(3x) = 3\,e^{3x}.
E v'(x) usando a regra da cadeia em \sin(7x):
v'(x) = \frac{d}{dx}\sin(7x) = \cos(7x)\cdot\frac{d}{dx}(7x) = 7\,\cos(7x).

Passo 4

Substituindo em
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x)
temos
f'(x) = 3\,e^{3x}\,\sin(7x) + e^{3x}\cdot7\,\cos(7x).
Fatorando e^{3x},
f'(x) = e^{3x}\,\bigl(3\,\sin(7x) + 7\,\cos(7x)\bigr).

Resposta

f'(x) = e^{3x}\bigl(3\sin(7x) + 7\cos(7x)\bigr).

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