Mostre que a função f(x)=|3 x+6| é contínua em \mathbb{R}, mas não é derivável em p=-2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=|3x+6|
é contínua em \mathbb{R} e não é derivável em p=-2. O conteúdo envolve as definições de continuidade e derivabilidade, além de explorar a representação em partes de uma função valor absoluto.

Passo 2

Reescrevemos f de forma piecewise, observando que 3x+6=3(x+2) muda de sinal em x=-2:
f(x)=|3x+6|= \begin{cases} 3x+6, & x\ge -2,\\\\ -(3x+6), & x< -2. \end{cases}

Passo 3

Cada ramo é afim, logo contínuo em sua parte. Falta verificar continuidade em x=-2. Calculamos os limites laterais e o valor da função:
\lim_{x\to -2^-}f(x)=-(3(-2)+6)=-( -6+6)=0, \quad \lim_{x\to -2^+}f(x)=3(-2)+6=-6+6=0,
e
f(-2)=|3(-2)+6|=|0|=0.
Como \lim_{x\to -2^-}f(x)=\lim_{x\to -2^+}f(x)=f(-2), f é contínua em x=-2. Logo f é contínua em todo \mathbb{R}.

Passo 4

Para x\neq -2, derivamos cada ramo (função afim):
f'(x)= \begin{cases} 3, & x>-2,\\\\ -3, & x<-2. \end{cases}

Passo 5

Em p=-2, os limites das taxas de variação são
\lim_{x\to -2^-}\frac{f(x)-f(-2)}{x-(-2)}=-3, \quad \lim_{x\to -2^+}\frac{f(x)-f(-2)}{x-(-2)}=3.
Como esses valores não coincidem, a derivada f'(-2) não existe.

Resposta

A função f(x)=|3x+6| é contínua em \mathbb{R}, mas não é derivável em p=-2.

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