Calcule a derivada das funções dadas:
f(x)=\left(\frac{2 x+1}{x^{3}+1}\right)^{4}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\Bigl(\frac{2x+1}{x^{3}+1}\Bigr)^{4}.
O conteúdo aqui envolve a regra da cadeia (para a potência quarta) e a regra do quociente (para a fração interna).

Passo 2

Definimos a função externa
u \mapsto u^{4}
e a função interna
g(x)=\frac{2x+1}{x^{3}+1}.

Passo 3

Pela regra da cadeia,
f'(x)=4\bigl(g(x)\bigr)^{3}\;\cdot\;g'(x).

Passo 4

Para achar g'(x), usamos a regra do quociente com
N(x)=2x+1, \quad D(x)=x^{3}+1.
Então
g'(x) =\frac{N'(x)\,D(x)-N(x)\,D'(x)}{\bigl(D(x)\bigr)^{2}}.

Passo 5

Calculamos as derivadas
N'(x)=2, \quad D'(x)=3x^{2}.
Substituindo e simplificando:
g'(x) =\frac{2(x^{3}+1)-(2x+1)\cdot3x^{2}}{(x^{3}+1)^{2}} =\frac{2x^{3}+2-6x^{3}-3x^{2}}{(x^{3}+1)^{2}} =\frac{-4x^{3}-3x^{2}+2}{(x^{3}+1)^{2}}.

Passo 6

Voltando a f'(x):
f'(x) =4\Bigl(\frac{2x+1}{x^{3}+1}\Bigr)^{3} \cdot\frac{-4x^{3}-3x^{2}+2}{(x^{3}+1)^{2}} =\frac{4\,(2x+1)^{3}\,(-4x^{3}-3x^{2}+2)}{(x^{3}+1)^{5}}.

Resposta

f'(x) =\frac{4\,(2x+1)^{3}\,\bigl(-4x^{3}-3x^{2}+2\bigr)}{(x^{3}+1)^{5}}.

Exercícios relacionados