Justificando sua resposta, determine o centro e o intervalo de convergência da série de potência. (2,0 pontos)
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(1-x)^{k}}{(k+1) 3^{k}}

Passo 1

O enunciado dá a série de potência
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(1-x)^{k}}{(k+1)\,3^{k}}
e pede o centro e o intervalo de convergência. O conteúdo é séries de potências e vamos usar o teste da razão para achar o raio de convergência e, em seguida, testar os extremos do intervalo.

Passo 2

Para ver o centro escrevemos (1-x)^{k}=(-1)^{k}(x-1)^{k}. Assim a série fica
\sum_{k=0}^{\infty} a_k\,(x-1)^{k} \quad\text{com}\quad a_k = \frac{(-1)^{k}}{(k+1)\,3^{k}}.
Isto mostra que a série é centrada em x=1. Logo
\text{centro }c = 1.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão a a_k\,(x-1)^k. Calculamos
L = \lim_{k\to\infty} \left| \frac{a_{k+1}\,(x-1)^{k+1}} {a_k\,(x-1)^k} \right| = \lim_{k\to\infty} \frac{\frac{1}{(k+2)\,3^{\,k+1}}\;|x-1|^{\,k+1}} {\frac{1}{(k+1)\,3^{\,k}}\;|x-1|^{\,k}} = \lim_{k\to\infty} \frac{k+1}{k+2}\,\frac{|x-1|}{3} = \frac{|x-1|}{3}.
Para convergir precisamos de L<1, ou seja
\frac{|x-1|}{3}<1 \quad\Longrightarrow\quad |x-1|<3.
Isso dá o raio R=3 e, em forma de intervalo aberto,
-3 < x-1 < 3 \quad\Longrightarrow\quad -2 < x < 4.

Passo 4

Restam os testes nos extremos:
\bullet Para x=-2: temos 1-(-2)=3, a série vira
\sum_{k=0}^\infty \frac{3^k}{(k+1)\,3^k} = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k+1},
que diverge (harmônica). Logo não inclui x=-2.
\bullet Para x=4: temos 1-4=-3, a série vira
\sum_{k=0}^\infty \frac{(-3)^k}{(k+1)\,3^k} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k+1},
que converge por ser série alternada com termos decrescentes a zero (teste de Leibniz). Logo inclui x=4.

Resposta

Centro: 1
Intervalo de convergência: -2 < x \le 4

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