Determine a equação da reta tangente e da reta normal à elipse \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1 no ponto (0,3).

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta tangente e da reta normal à elipse
\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1
no ponto (0,3). O conteúdo aqui é derivação implícita para obter o declive da tangente e depois usar a relação entre declive da normal e da tangente.

Passo 2

Diferenciando implicitamente em relação a x temos
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x^{2}}{4}\Bigr) + \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{y^{2}}{9}\Bigr) = \frac{d}{dx}(1),
ou seja
\frac{x}{2} + \frac{2y}{9}\,\frac{dy}{dx} = 0.

Passo 3

Isolando \frac{dy}{dx} obtemos
\frac{2y}{9}\,\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2}\cdot\frac{9}{2y} = -\frac{9x}{4y}.
No ponto (0,3) isso dá
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(0,3)} = -\frac{9\cdot 0}{4\cdot 3} = 0.

Passo 4

Como o declive da tangente é m_{\text{tan}}=0, a reta tangente é horizontal passando por y=3, logo
\text{reta tangente: } y = 3.

Passo 5

O declive da reta normal é o negativo do recíproco de m_{\text{tan}}. Como m_{\text{tan}}=0, o recíproco diverge e a normal é vertical. Passando por x=0, fica
\text{reta normal: } x = 0.

Resposta

reta tangente: y = 3
reta normal: x = 0

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