Calcule a derivada das funções dadas:
y=\operatorname{arccos} \left(3 x^{{2}}\right).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \operatorname{arccos}\bigl(3x^{2}\bigr).
Este é um caso clássico para usar a regra da cadeia combinada com a derivada de \operatorname{arccos}(u), pois temos uma função composta: a função externa é \operatorname{arccos} e a interna é u(x)=3x^2.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x) = 3x^{2}.
Usando a regra de potência, sua derivada é
u'(x) = 6x.

Passo 3

A derivada de \operatorname{arccos}(u) em relação a x é dada por
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{arccos}(u)\bigr] = -\frac{u'(x)}{\sqrt{\,1 - \bigl(u(x)\bigr)^{2}\,}}.
Substituindo u(x)=3x^{2} e u'(x)=6x, obtemos
y' = -\frac{6x}{\sqrt{\,1 - \bigl(3x^{2}\bigr)^{2}\,}} = -\frac{6x}{\sqrt{\,1 - 9x^{4}\,}}.

Resposta

y' = -\frac{6x}{\sqrt{1 - 9x^{4}}}.

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