Um ponto move-se ao longo do gráfico de y=x^{2}+2 de tal modo que a sua abscissa x varia a uma velocidade constante de 3 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. Qual é, quando x=2 \mathrm{~cm}, a velocidade da ordenada y ?

Passo 1

O enunciado diz que um ponto percorre a curva \,y=x^2+2 com a abscissa variando a uma velocidade constante de \,\frac{dx}{dt}=3\\ \mathrm{cm/s}. Queremos a velocidade da ordenada, isto é \,\frac{dy}{dt}, quando x=2.

Passo 2

Como y é função de x e x é função de t, aplicamos a regra da cadeia:
\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx}\,\frac{dx}{dt}.
Na curva dada,
\frac{dy}{dx} = 2x,
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\frac{dy}{dt} = 2x\,\frac{dx}{dt}.
Substituindo x=2 e \frac{dx}{dt}=3\\ \mathrm{cm/s}, vem
\frac{dy}{dt} = 2\cdot2\cdot3 = 12\\ \mathrm{cm/s}.

Resposta

\,12\\ \mathrm{cm/s}

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