Calcule a derivada das funções (por dois métodos) e verifique se suas respostas coincidem:
y=\left(3 x^{2}+1\right)\left(x^{3}+6 x\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função y=\left(3x^{2}+1\right)\left(x^{3}+6x\right) e pede para calcular a derivada por dois métodos distintos e verificar se as respostas coincidem.
Informações relevantes dadas:
  • A função é um produto de duas funções polinomiais: u(x)=3x^{2}+1 e v(x)=x^{3}+6x.
  • O objetivo é encontrar y'(x)=\dfrac{dy}{dx} por dois métodos diferentes e comparar os resultados.

Passo 2

Método 1 — usar a regra do produto. Primeiro, lembrar a regra do produto: se y=u(x)\,v(x) então
y'=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Explicando a regra do produto de forma didática: ao derivar um produto, não basta derivar só um dos fatores; a regra combina a derivada de cada fator multiplicada pelo outro fator “inteiro”, somando os dois resultados. Isso vem da definição de derivada e do limite das diferenças, mas na prática decorre dessa fórmula útil.
Aplicando aqui, defina explicitamente
u(x)=3x^{2}+1,\qquad v(x)=x^{3}+6x.

Passo 3

Calcular u'(x) e v'(x) usando regras básicas:
  • Regra do poder: \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
  • Regra da soma e da constante: a derivada de uma soma é a soma das derivadas; a derivada de constante é zero; constante fator fora da derivada permanece multiplicando.
Para u(x)=3x^{2}+1:
u'(x)=3\cdot \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)+\dfrac{d}{dx}(1)=3\cdot(2x)+0=6x.
Para v(x)=x^{3}+6x:
v'(x)=\dfrac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)+6\cdot\dfrac{d}{dx}(x)=3x^{2}+6\cdot 1=3x^{2}+6.

Passo 4

Aplicar a regra do produto:
y'=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo:
y'=(6x)\,(x^{3}+6x)+(3x^{2}+1)\,(3x^{2}+6).
Agora vamos expandir passo a passo cada produto:
Primeiro termo:
(6x)(x^{3}+6x)=6x\cdot x^{3}+6x\cdot 6x=6x^{4}+36x^{2}.
Segundo termo:
(3x^{2}+1)(3x^{2}+6)=3x^{2}\cdot 3x^{2}+3x^{2}\cdot 6+1\cdot 3x^{2}+1\cdot 6=9x^{4}+18x^{2}+3x^{2}+6.
Juntando os termos do segundo produto:
9x^{4}+21x^{2}+6.
Somando os dois blocos:
y'=(6x^{4}+36x^{2})+(9x^{4}+21x^{2}+6)=15x^{4}+57x^{2}+6.

Passo 5

Método 2 — expandir a função primeiro e depois derivar termo a termo. Expansão do produto original:
y=(3x^{2}+1)(x^{3}+6x).
Multiplicando termo a termo:
3x^{2}\cdot x^{3}=3x^{5},\qquad 3x^{2}\cdot 6x=18x^{3},\qquad 1\cdot x^{3}=x^{3},\qquad 1\cdot 6x=6x.
Somando:
y=3x^{5}+18x^{3}+x^{3}+6x=3x^{5}+19x^{3}+6x.

Passo 6

Derivar termo a termo usando a regra do poder e linearidade da derivada:
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{5}\bigr)=3\cdot 5x^{4}=15x^{4},
\frac{d}{dx}\bigl(19x^{3}\bigr)=19\cdot 3x^{2}=57x^{2},
\frac{d}{dx}\bigl(6x\bigr)=6.
Somando:
y'=15x^{4}+57x^{2}+6.

Passo 7

Verificação final: os dois métodos deram exatamente a mesma expressão para y':
y'=15x^{4}+57x^{2}+6.
Como dica rápida para simplificar, nota-se que se quiser factorar um fator comum 3, obtém-se y'=3\bigl(5x^{4}+19x^{2}+2\bigr), mas a forma polinomial expandida também é perfeitamente válida.

Resposta

y'=15x^{4}+57x^{2}+6

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