Calcule a derivada das funções (por dois métodos) e verifique se suas respostas coincidem:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para calcular a derivada por dois métodos distintos e verificar se as respostas coincidem.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A função é um produto de duas funções polinomiais:
e . - O objetivo é encontrar
por dois métodos diferentes e comparar os resultados.
Passo 2
Método 1 — usar a regra do produto. Primeiro, lembrar a regra do produto: se
então
Explicando a regra do produto de forma didática: ao derivar um produto, não basta derivar só um dos fatores; a regra combina a derivada de cada fator multiplicada pelo outro fator “inteiro”, somando os dois resultados. Isso vem da definição de derivada e do limite das diferenças, mas na prática decorre dessa fórmula útil.
Aplicando aqui, defina explicitamente
Passo 3
Calcular
e
usando regras básicas:
- Regra do poder:
. - Regra da soma e da constante: a derivada de uma soma é a soma das derivadas; a derivada de constante é zero; constante fator fora da derivada permanece multiplicando.
Para
:
Para
:
Passo 4
Aplicar a regra do produto:
Substituindo:
Agora vamos expandir passo a passo cada produto:
Primeiro termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Juntando os termos do segundo produto:
Somando os dois blocos:
Passo 5
Método 2 — expandir a função primeiro e depois derivar termo a termo. Expansão do produto original:
Multiplicando termo a termo:
Somando:
Passo 6
Derivar termo a termo usando a regra do poder e linearidade da derivada:
Somando:
Passo 7
Verificação final: os dois métodos deram exatamente a mesma expressão para
:
Como dica rápida para simplificar, nota-se que se quiser factorar um fator comum
, obtém-se
, mas a forma polinomial expandida também é perfeitamente válida.