Derive as funções abaixo:
y=\frac{2-3 x}{1-x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função y=\dfrac{2-3x}{1-x}.
Informações dadas:
  • A função a derivar é y=\dfrac{2-3x}{1-x}.
  • Não há outras condições explícitas; a função está definida para x\neq1.

Passo 2

Vou usar a regra do quociente para derivar. Regra do quociente (fórmula):
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v - u\,v'}{v^{2}}.
Aqui:
  • u(x) é o numerador da função,
  • v(x) é o denominador da função,
  • u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v respectivamente.
Explicando a regra de forma intuitiva: quando você divide duas funções, a derivada não é simplesmente a divisão das derivadas — é preciso combinar as taxas de variação do numerador e do denominador conforme essa fórmula. O denominador ao quadrado v^2 aparece porque pequenas variações no denominador afetam a razão de forma mais intensa.

Passo 3

Identifico u e v e calculo suas derivadas:
u(x)=2-3x,\qquad v(x)=1-x.
Logo
u'(x)=-3,\qquad v'(x)=-1.

Passo 4

Aplico a regra do quociente substituindo u, v, u' e v':
y'=\frac{u'v - u\,v'}{v^{2}}=\frac{(-3)(1-x) - (2-3x)(-1)}{(1-x)^{2}}.
Agora desenvolvo o numerador passo a passo:
(-3)(1-x) = -3 + 3x,
(2-3x)(-1) = -2 + 3x,
portanto
(-3)(1-x) - (2-3x)(-1) = (-3+3x) - (-2+3x) = -3+3x +2 -3x = -1.
Assim obtemos
y'=\frac{-1}{(1-x)^{2}}.

Passo 5

Método alternativo (uma dica útil para a prova): simplificar a função antes de derivar. Faço a divisão algébrica por tentativa de escrever a função como soma de um polinômio com uma fração simples:
procuro a e b tais que
2-3x = a(1-x) + b.
Comparando coeficientes: do termo em x vem -a = -3 então a=3. Do termo constante vem a+b=2 então 3+b=2 e b=-1. Portanto
y=\frac{2-3x}{1-x}=3 - \frac{1}{1-x}.
Derivo termo a termo. A derivada de 3 é 0. Para -\dfrac{1}{1-x} uso a regra da cadeia: escrever \dfrac{1}{1-x}=(1-x)^{-1}. Então
\frac{d}{dx}\big((1-x)^{-1}\big) = -1\cdot(1-x)^{-2}\cdot\frac{d}{dx}(1-x).
Como \dfrac{d}{dx}(1-x)=-1, o produto dos sinais dá +1 e
\frac{d}{dx}\big((1-x)^{-1}\big)=(1-x)^{-2}.
Multiplicando pelo coeficiente -1 que estava na frente, a derivada do segundo termo é - (1-x)^{-2}. Portanto novamente
y'=-\frac{1}{(1-x)^{2}}.

Resposta

y'=-\dfrac{1}{(1-x)^{2}}

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