Derive as funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função a derivar é
. - Não há outras condições explícitas; a função está definida para
.
Passo 2
Vou usar a regra do quociente para derivar. Regra do quociente (fórmula):
Aqui:
-
é o numerador da função, -
é o denominador da função, -
e são as derivadas de e respectivamente.
Explicando a regra de forma intuitiva: quando você divide duas funções, a derivada não é simplesmente a divisão das derivadas — é preciso combinar as taxas de variação do numerador e do denominador conforme essa fórmula. O denominador ao quadrado
aparece porque pequenas variações no denominador afetam a razão de forma mais intensa.
Passo 3
Identifico
e
e calculo suas derivadas:
Logo
Passo 4
Aplico a regra do quociente substituindo
,
,
e
:
Agora desenvolvo o numerador passo a passo:
portanto
Assim obtemos
Passo 5
Método alternativo (uma dica útil para a prova): simplificar a função antes de derivar. Faço a divisão algébrica por tentativa de escrever a função como soma de um polinômio com uma fração simples:
procuro e
tais que
procuro
Comparando coeficientes: do termo em
vem
então
. Do termo constante vem
então
e
. Portanto
Derivo termo a termo. A derivada de
é
. Para
uso a regra da cadeia: escrever
. Então
Como
, o produto dos sinais dá
e
Multiplicando pelo coeficiente
que estava na frente, a derivada do segundo termo é
. Portanto novamente