Calcule a derivada das funções (por dois métodos) e verifique se suas respostas coincidem:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- A função dada é
. - O que pedem: calcular a derivada de
por dois métodos diferentes e verificar se as respostas coincidem.
Passo 2
Breve revisão das regras que vou usar (explicando bem devagar, sem pular etapas):
- Regra do produto: se
, então a derivada é
Aqui
e
são as derivadas de
e
em relação a
. Essa regra vem da definição do derivada e da linearidade do limite; na prática, a gente deriva cada fator mantendo o outro e soma os dois termos.
- Regra da soma e do poder (power rule): se
com constante e um inteiro, então
Isso vale termo a termo em um polinômio: a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
Passo 3
Método 1 — aplicar a regra do produto diretamente (passo a passo):
- Identifico os fatores
e : -
. -
.
-
- Calculo as derivadas de cada fator:
-
, porque a derivada de é e a de uma constante é . -
, aplicando a regra do poder no termo e lembrando que a derivada de constante é .
-
- Aplico a regra do produto:
Substituindo:
- Agora faço as multiplicações e simplifico passo a passo:
- Primeiro termo:
. - Segundo termo:
.
- Primeiro termo:
- Somando os dois termos:
- Opcional (fatoração para simplificar e ficar mais elegante): todos os coeficientes têm fator comum
, então
Passo 4
Método 2 — primeiro expandir o produto e depois derivar termo a termo:
- Multiplico os fatores para obter um polinômio explícito:
-
. -
. -
. -
.
-
- Somando os termos, a função fica
- Agora derivo cada termo usando a regra do poder:
-
. -
. -
. -
.
-
- Somando as derivadas termo a termo:
- Fatorando como antes:
Passo 5
Comparação e comentário final:
- As duas formas deram exatamente a mesma expressão final:
, que também pode ser escrita como . - Conclusão prática para a prova: tanto aplicar a regra do produto quanto expandir e derivar termo a termo são métodos válidos; escolha o que for mais rápido no momento. Aqui a fatoração final
é um resultado mais compacto e útil para perceber zeros e concavidade.
Resposta
Produto:
Expansão:
Expansão: