Calcule a derivada das funções (por dois métodos) e verifique se suas respostas coincidem:
y=(2 x-6)\left(3 x^{2}+9\right)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • A função dada é y=(2x-6)(3x^{2}+9).
  • O que pedem: calcular a derivada de y por dois métodos diferentes e verificar se as respostas coincidem.

Passo 2

Breve revisão das regras que vou usar (explicando bem devagar, sem pular etapas):
  • Regra do produto: se y=u(x)\,v(x), então a derivada é
y'=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v em relação a x. Essa regra vem da definição do derivada e da linearidade do limite; na prática, a gente deriva cada fator mantendo o outro e soma os dois termos.
  • Regra da soma e do poder (power rule): se y=a x^{n} com a constante e n um inteiro, então
\frac{d}{dx}\bigl(a x^{n}\bigr)=a n x^{n-1}.
Isso vale termo a termo em um polinômio: a derivada de uma soma é a soma das derivadas.

Passo 3

Método 1 — aplicar a regra do produto diretamente (passo a passo):
  • Identifico os fatores u e v:
    • u(x)=2x-6.
    • v(x)=3x^{2}+9.
  • Calculo as derivadas de cada fator:
    • u'(x)=\dfrac{d}{dx}(2x-6)=2, porque a derivada de 2x é 2 e a de uma constante -6 é 0.
    • v'(x)=\dfrac{d}{dx}(3x^{2}+9)=3\cdot 2x^{1}=6x, aplicando a regra do poder no termo 3x^{2} e lembrando que a derivada de constante é 0.
  • Aplico a regra do produto:
y'=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo:
y'=2\bigl(3x^{2}+9\bigr)+(2x-6)\bigl(6x\bigr).
  • Agora faço as multiplicações e simplifico passo a passo:
    • Primeiro termo: 2\bigl(3x^{2}+9\bigr)=6x^{2}+18.
    • Segundo termo: (2x-6)(6x)=2x\cdot 6x-6\cdot 6x=12x^{2}-36x.
  • Somando os dois termos:
y'=(6x^{2}+18)+(12x^{2}-36x)=18x^{2}-36x+18.
  • Opcional (fatoração para simplificar e ficar mais elegante): todos os coeficientes têm fator comum 18, então
y'=18\bigl(x^{2}-2x+1\bigr)=18\bigl(x-1\bigr)^{2}.

Passo 4

Método 2 — primeiro expandir o produto e depois derivar termo a termo:
  • Multiplico os fatores para obter um polinômio explícito:
    • 2x\cdot 3x^{2}=6x^{3}.
    • 2x\cdot 9=18x.
    • -6\cdot 3x^{2}=-18x^{2}.
    • -6\cdot 9=-54.
  • Somando os termos, a função fica
y=6x^{3}-18x^{2}+18x-54.
  • Agora derivo cada termo usando a regra do poder:
    • \dfrac{d}{dx}(6x^{3})=6\cdot 3x^{2}=18x^{2}.
    • \dfrac{d}{dx}(-18x^{2})=-18\cdot 2x=-36x.
    • \dfrac{d}{dx}(18x)=18.
    • \dfrac{d}{dx}(-54)=0.
  • Somando as derivadas termo a termo:
y'=18x^{2}-36x+18.
  • Fatorando como antes:
y'=18\bigl(x^{2}-2x+1\bigr)=18\bigl(x-1\bigr)^{2}.

Passo 5

Comparação e comentário final:
  • As duas formas deram exatamente a mesma expressão final: y'=18x^{2}-36x+18, que também pode ser escrita como 18(x-1)^{2}.
  • Conclusão prática para a prova: tanto aplicar a regra do produto quanto expandir e derivar termo a termo são métodos válidos; escolha o que for mais rápido no momento. Aqui a fatoração final 18(x-1)^{2} é um resultado mais compacto e útil para perceber zeros e concavidade.

Resposta

Produto: y'=18x^{2}-36x+18=18(x-1)^{2}
Expansão: y'=18x^{2}-36x+18=18(x-1)^{2}

Exercícios relacionados