Derive as funções abaixo:
y=\frac{x^{2}+2}{1+2 x}

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\frac{x^{2}+2}{1+2x}
e pede para encontrar a derivada y' em termos de x.
Informações relevantes que podemos anotar imediatamente:
  • A função é uma razão de duas funções polinomiais; o denominador não pode ser zero, então o domínio exclui x=-\tfrac{1}{2}.
  • O que queremos é a derivada \dfrac{dy}{dx} (também chamada de y').

Passo 2

Vou usar a regra do quociente porque é o método direto e simples para derivar uma razão u(x)/v(x). A regra do quociente diz o seguinte:
\text{Se } y=\frac{u(x)}{v(x)}, \quad \text{então} \quad y'=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.ã
Aqui cada símbolo significa:
  • u(x) é o numerador da fração;
  • v(x) é o denominador da fração;
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x;
  • v'(x) é a derivada de v em relação a x.

Passo 3

Identificamos u e v e calculamos suas derivadas:
u(x)=x^{2}+2,\qquad u'(x)=2x.
v(x)=1+2x,\qquad v'(x)=2.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
y'=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}
Substituindo u,u',v,v':
y'=\frac{(2x)(1+2x)-(x^{2}+2)(2)}{(1+2x)^{2}}.
Agora desenvolvemos a conta do numerador passo a passo:
(2x)(1+2x)=2x+4x^{2},
(x^{2}+2)(2)=2x^{2}+4.
Subtraindo:
(2x+4x^{2})-(2x^{2}+4)=4x^{2}-2x^{2}+2x-4=2x^{2}+2x-4.
Portanto
y'=\frac{2x^{2}+2x-4}{(1+2x)^{2}}.

Passo 5

Podemos fatorar o numerador para uma forma mais clara:
2x^{2}+2x-4=2\bigl(x^{2}+x-2\bigr)=2(x+2)(x-1).
Assim uma forma bem enxuta da derivada é
y'=\frac{2(x+2)(x-1)}{(1+2x)^{2}},
com a observação de que x\neq -\tfrac{1}{2}.

Passo 6

(Verificação alternativa — opcional) Uma outra maneira é dividir o polinômio e escrever y como soma de termos mais simples, derivar cada termo e confirmar que dá o mesmo resultado. Fazendo a divisão obtemos
y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}+\frac{9/4}{1+2x},
derivando isso chega-se também a
y'=\frac{2x^{2}+2x-4}{(1+2x)^{2}},
confirmando a resposta anterior.

Resposta

y'=\frac{2x^{2}+2x-4}{(1+2x)^{2}}=\frac{2(x+2)(x-1)}{(1+2x)^{2}}

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