Derive as funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar a derivada
em termos de
.
Informações relevantes que podemos anotar imediatamente:
Informações relevantes que podemos anotar imediatamente:
- A função é uma razão de duas funções polinomiais; o denominador não pode ser zero, então o domínio exclui
. - O que queremos é a derivada
(também chamada de ).
Passo 2
Vou usar a regra do quociente porque é o método direto e simples para derivar uma razão
. A regra do quociente diz o seguinte:
Aqui cada símbolo significa:
-
é o numerador da fração; -
é o denominador da fração; -
é a derivada de em relação a ; -
é a derivada de em relação a .
Passo 3
Identificamos
e
e calculamos suas derivadas:
Passo 4
Aplicando a regra do quociente:
Substituindo
:
Agora desenvolvemos a conta do numerador passo a passo:
Subtraindo:
Portanto
Passo 5
Podemos fatorar o numerador para uma forma mais clara:
Assim uma forma bem enxuta da derivada é
com a observação de que
.
Passo 6
(Verificação alternativa — opcional) Uma outra maneira é dividir o polinômio e escrever
como soma de termos mais simples, derivar cada termo e confirmar que dá o mesmo resultado. Fazendo a divisão obtemos
derivando isso chega-se também a
confirmando a resposta anterior.