No instante t=0 \mathrm{um} corpo inicia um movimento em linha reta. Sua posição (em metros) no instante t (em segundos) é dada por s(t)=16 t-t^{2}.
Determine:
a) a velocidade média desse corpo no intervalo de tempo [2,4].
b) a velocidade do corpo no instante t=2.
c) a aceleração no instante t=4.

Passo 1

O enunciado dá a posição do corpo como função do tempo:
s(t)=16t-t^{2},
com s em metros e t em segundos. Pede-se:
  • (a) a velocidade média no intervalo [2,4];
  • (b) a velocidade do corpo no instante t=2;
  • (c) a aceleração no instante t=4.

Passo 2

Velocidade média: conceito e fórmula. A velocidade média num intervalo [t_1,t_2] é a variação da posição dividida pelo tempo decorrido. Em fórmula:
v_{\text{média}}=\frac{s(t_2)-s(t_1)}{t_2-t_1}.é
Aqui t_1=2 e t_2=4. Primeiro calculo s(2) e s(4).
Calcular s(2):
s(2)=16\cdot 2 - 2^{2}=32-4=28.
Calcular s(4):
s(4)=16\cdot 4 - 4^{2}=64-16=48.
Agora aplicar a fórmula da velocidade média:
v_{\text{média}}=\frac{s(4)-s(2)}{4-2}=\frac{48-28}{2}=\frac{20}{2}=10.é
Portanto a velocidade média no intervalo [2,4] é 10\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Velocidade instantânea: definição e como obter. A velocidade instantânea v(t) é a derivada da posição em relação ao tempo:
v(t)=s'(t).
Relembre a regra rápida: a derivada de at é a e a derivada de t^{2} é 2t. Aplicando a s(t)=16t-t^{2}:
v(t)=\frac{d}{dt}\bigl(16t-t^{2}\bigr)=16-2t.
Agora calculo a velocidade no instante t=2:
v(2)=16-2\cdot 2=16-4=12.
Portanto a velocidade no instante t=2 é 12\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Aceleração: definição e cálculo. A aceleração a(t) é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição:
a(t)=v'(t)=s''(t).
Como v(t)=16-2t, a derivada em relação a t é
a(t)=\frac{d}{dt}(16-2t)=-2.
A aceleração é constante e igual a -2\\ \mathrm{m/s^{2}} para qualquer t. Em particular,
a(4)=-2\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Significado físico rápido: o sinal negativo indica que a velocidade está diminuindo (aceleração dirigida oposta ao sentido da velocidade).

Passo 5

Resumo das ideias usadas (rápido e motivacional): para velocidade média usei variação média de posição; para velocidade instantânea usei derivada de s(t); para aceleração usei derivada da velocidade. Boa! Isso é exatamente o procedimento que funciona em prova: lembrar as fórmulas e derivar passo a passo.

Resposta

(a) 10\\ \mathrm{m/s}
(b) 12\\ \mathrm{m/s}
(c) -2\\ \mathrm{m/s^{2}}

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