No instante
corpo inicia um movimento em linha reta. Sua posição (em metros) no instante
(em segundos) é dada por
.
Determine:
a) a velocidade média desse corpo no intervalo de tempo [2,4].
b) a velocidade do corpo no instante
.
c) a aceleração no instante
.
a) a velocidade média desse corpo no intervalo de tempo [2,4].
b) a velocidade do corpo no instante
c) a aceleração no instante
Passo 1
O enunciado dá a posição do corpo como função do tempo:
com
em metros e
em segundos. Pede-se:
- (a) a velocidade média no intervalo
; - (b) a velocidade do corpo no instante
; - (c) a aceleração no instante
.
Passo 2
Velocidade média: conceito e fórmula. A velocidade média num intervalo
é a variação da posição dividida pelo tempo decorrido. Em fórmula:
Aqui
e
. Primeiro calculo
e
.
Calcular
:
Calcular
:
Agora aplicar a fórmula da velocidade média:
Portanto a velocidade média no intervalo
é
.
Passo 3
Velocidade instantânea: definição e como obter. A velocidade instantânea
é a derivada da posição em relação ao tempo:
Relembre a regra rápida: a derivada de
é
e a derivada de
é
. Aplicando a
:
Agora calculo a velocidade no instante
:
Portanto a velocidade no instante
é
.
Passo 4
Aceleração: definição e cálculo. A aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição:
Como
, a derivada em relação a
é
A aceleração é constante e igual a
para qualquer
. Em particular,
Significado físico rápido: o sinal negativo indica que a velocidade está diminuindo (aceleração dirigida oposta ao sentido da velocidade).
Passo 5
Resumo das ideias usadas (rápido e motivacional): para velocidade média usei variação média de posição; para velocidade instantânea usei derivada de
; para aceleração usei derivada da velocidade. Boa! Isso é exatamente o procedimento que funciona em prova: lembrar as fórmulas e derivar passo a passo.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)