Uma partícula se move ao longo de um eixo de acordo com a equação do movimento
onde
é medido em segundos e
é a distância medida em metros. Determine a velocidade no instante em que a aceleração é
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dado: a função posição
, com , onde está em segundos e em metros. - Pedido: determinar a velocidade no instante em que a aceleração vale
.
Passo 2
Entender as relações entre posição, velocidade e aceleração (aulas rápidas e práticas).
- Velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo; matematicamente é a derivada da posição:
. - Aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo; matematicamente é a derivada da velocidade (ou a segunda derivada da posição):
.
Regra básica de derivação que vamos usar (regra do poder): para qualquer, . Para constantes multiplicativas, a derivada passa como fator constante.
Passo 3
Calcular a velocidade
aplicando a regra do poder termo a termo.
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto:
Passo 4
Calcular a aceleração
derivando
.
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Assim:
Passo 5
Encontrar o instante
em que
. Resolver a equação:
Somando
aos dois lados:
Dividindo por
:
Verificação:
satisfaz
, logo é fisicamente aceitável.
Passo 6
Calcular a velocidade no instante
usando
. Substituindo:
Calcule passo a passo:
Portanto
Unidade: metros por segundo.