Uma partícula se move ao longo de um eixo de acordo com a equação do movimento s(t)=4 t^{3}-2 t^{2}+t onde t \geq 0 é medido em segundos e s é a distância medida em metros. Determine a velocidade no instante em que a aceleração é 44 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dado: a função posição \,s(t)=4t^{3}-2t^{2}+t, com t\ge 0, onde t está em segundos e s em metros.
  • Pedido: determinar a velocidade no instante em que a aceleração vale 44\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 2

Entender as relações entre posição, velocidade e aceleração (aulas rápidas e práticas).
  • Velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo; matematicamente é a derivada da posição: \,v(t)=s'(t).
  • Aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo; matematicamente é a derivada da velocidade (ou a segunda derivada da posição): \,a(t)=v'(t)=s''(t).
    Regra básica de derivação que vamos usar (regra do poder): para qualquer n, \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{n-1}. Para constantes multiplicativas, a derivada passa como fator constante.

Passo 3

Calcular a velocidade v(t)=s'(t) aplicando a regra do poder termo a termo.
  • Derivada de 4t^{3} é 4\cdot 3 t^{2}=12t^{2}.
  • Derivada de -2t^{2} é -2\cdot 2 t=-4t.
  • Derivada de t é 1.
    Portanto:
v(t)=12t^{2}-4t+1.

Passo 4

Calcular a aceleração a(t)=v'(t)=s''(t) derivando v(t).
  • Derivada de 12t^{2} é 24t.
  • Derivada de -4t é -4.
  • Derivada de 1 é 0.
    Assim:
a(t)=24t-4.

Passo 5

Encontrar o instante t em que a(t)=44. Resolver a equação:
24t-4=44.
Somando 4 aos dois lados:
24t=48.
Dividindo por 24:
t=2\\ \text{segundos}.
Verificação: t=2 satisfaz t\ge 0, logo é fisicamente aceitável.

Passo 6

Calcular a velocidade no instante t=2 usando v(t)=12t^{2}-4t+1. Substituindo:
v(2)=12\cdot 2^{2}-4\cdot 2+1.
Calcule passo a passo:
2^{2}=4,\qquad 12\cdot 4=48,\qquad 4\cdot 2=8.
Portanto
v(2)=48-8+1=41.
Unidade: metros por segundo.

Resposta

41\\ \mathrm{m/s}

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