Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.
raiz[3]x-1

Passo 1

O enunciado pede para usar a série binomial e encontrar a expansão em série de potência de
raiz[3]x-1
em torno de x=0, além de determinar o raio de convergência. Vamos reescrever a função num formato “ 1+dots” para aplicar
(1+t)^alpha=sumn=0^inftybinomalphant^n, |t|<1,
com alpha=tfrac13.

Passo 2

Percebemos que
raiz[3]x-1=(x-1)^1/3=-,(1-x)^1/3,
pois raiz[3]-1=-1. Assim basta expandir (1-x)^1/3 com t=-x e alpha=tfrac13.

Passo 3

Pelo teorema da série binomial temos
(1-x)^1/3=sumn=0^inftybinomtfrac13n(-x)^n
Logo
raiz[3]x-1=-sumn=0^inftybinomtfrac13n(-x)^n =sumn=0^infty(-1)^,n+1binomtfrac13nx^n

Passo 4

A forma geral do coeficiente é
binomtfrac13n =tfrac13l(tfrac13-1r)l(tfrac13-2r)cdotsl(tfrac13-n+1r)n!,
então
raiz[3]x-1 =sumn=0^infty(-1)^n+1binomtfrac13nx^n, |x|<1

Passo 5

Para ilustrar, os primeiros termos são
raiz[3]x-1 =-1+13x+19x^2+581x^3+10243x^4+cdots

Passo 6

O raio de convergência vem do teste da razão aplicado aos termos binomiais e dá
R=1

Resposta

raiz[3]x-1 =sumn=0^infty(-1)^n+1binomtfrac13nx^n =-1+13x+19x^2+581x^3+cdots, R=1

Exercícios relacionados