Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.
Passo 1
O enunciado pede para usar a série binomial e encontrar a expansão em série de potência de
em torno de
, além de determinar o raio de convergência. Vamos reescrever a função num formato “
” para aplicar
com
.
Passo 2
Percebemos que
pois
. Assim basta expandir
com
e
.
Passo 3
Pelo teorema da série binomial temos
Logo
Passo 4
A forma geral do coeficiente é
então
Passo 5
Para ilustrar, os primeiros termos são
Passo 6
O raio de convergência vem do teste da razão aplicado aos termos binomiais e dá