(a) Expanda raiz[2]8+x como uma série de potências.
(b) Utilize a parte (a) para estimar raiz[3]8,2 com precisão de quatro casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. expandir em série de potências a função raiz[3]8+x=(8+x)^1/3,
  2. usar essa expansão para estimar raiz[3]8,2 com quatro casas decimais.
    Para isso vamos aplicar o Teorema do Binômio Generalizado, que afirma que para todo alphainR e |u|<1 vale
(1+u)^alpha ;=;sumn=0^infty binomalphan,u^n
onde
binomalphan=alpha(alpha-1)cdots(alpha-n+1)n!,

Passo 2

Escrevemos
(8+x)^1/3 ;=;2l(1+tfracx8r)^1/3
pois 8^1/3=2. Aí aplicamos o binômio com alpha=tfrac13 e u=tfracx8, obtendo
l(1+tfracx8r)^1/3 =sumn=0^inftybinom1/3nl(tfracx8r)^n

Passo 3

Vamos expor os primeiros termos até n=3:
– Para n=0: binom1/30=1.
– Para n=1: binom1/31=tfrac13.
– Para n=2: binom1/32=tfractfrac13(tfrac13-1)2!=tfrac-29cdottfrac12=-tfrac19.
– Para n=3: binom1/33=tfrac13(tfrac13-1)(tfrac33-2)6 =1cdot(-2)cdot(-5)3^3cdot6=581.
Multiplicando por 2, a expansão fica
raiz[3]8+x =2l[1+tfrac13l(tfracx8r) -tfrac19l(tfracx8r)^2 +tfrac581l(tfracx8r)^3+cdotsr]

Passo 4

Para estimar raiz[3]8,2 tomamos x=0,2, daí tfracx8=0,025. Calculando termo a termo:
T0=2.
T1=2cdottfrac13cdot0,025=2cdot0,0083333approx0,0166667.
T2=2cdotl(-tfrac19r)cdot(0,025)^2 =2cdot(-0,111111)cdot0,000625approx-0,0001389.
T3=2cdottfrac581cdot(0,025)^3 =2cdot0,061728cdot0,000015625approx0,00000193.
Somando T0+T1+T2+T3 obtemos
2 + 0,0166667 - 0,0001389 + 0,0000019 approx 2,0165297
Os termos seguintes são da ordem 10^-8 e não alteram as quatro casas decimais.

Resposta

raiz[3]8,2approx 2,0165 (quatro casas decimais).

Exercícios relacionados