Determine o volume dos sólidos S descritos abaixo:
S=(x, y, z) in R^3 ; x^2+y^2+z^2 <= 4 e x^2+y^2 <= 2 y

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido S dado por
S=(x,y,z)inR^3mid x^2+y^2+z^2<=4,;x^2+y^2<=2y
O conteúdo é volume por integração em coordenadas polares no plano xy mais integração em z.

Passo 2

Primeiro descrevemos a projeção D de S no plano xy. A condição
x^2+y^2<=2y
é equivalente a
x^2+(y-1)^2<=1,
ou seja, um disco de raio 1 centrado em (0,1). Em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta, isso vira
r^2<=2rsintheta Longrightarrow 0<= r<=2sintheta, 0<=theta<=pi
Além disso, da esfera temos x^2+y^2<=4, isto é r<=2, mas como 2sintheta<=2 em [0,pi], o limite efetivo é r<=2sintheta.

Passo 3

Para cada (r,theta)in D, o z varia de -raiz4-r^2 a +raiz4-r^2. Logo o volume é
V=integral duplaDl(integral-raiz4-r^2^raiz4-r^2dzr),dA =integral duplaD2raiz4-r^2,dA
Em coordenadas polares dA=r,dr,dtheta, então
V =2integral0^pi!integral0^2sinthetarraiz4-r^2;dr,dtheta

Passo 4

Calculemos a integral interna
I(a)=integral0^arraiz4-r^2;dr
Fazendo u=4-r^2, du=-2r,dr, obtemos
I(a) =-tfrac12integralu=4^,4-a^2u^1/2du =-tfrac12cdottfrac23l[u^3/2r]4^4-a^2 =tfrac13l(4^3/2-(4-a^2)^3/2r)
Como 4^3/2=8,
I(a)=tfrac13l(8-(4-a^2)^3/2r)

Passo 5

No nosso caso a=2sintheta, logo
4-a^2=4-4sin^2theta=4cos^2theta, (4-a^2)^3/2=(4cos^2theta)^3/2=8,|cos^3theta|
Assim
integral0^2sinthetarraiz4-r^2;dr =tfrac13l(8-8,|cos^3theta|r) =tfrac83l(1-|cos^3theta|r)
Então
V =2integral0^pi83l(1-|cos^3theta|r)dtheta =163integral0^pil(1-|cos^3theta|r)dtheta

Passo 6

Separando
integral0^pi1,dtheta=pi, integral0^pi|cos^3theta|,dtheta =2integral0^pi/2cos^3theta,dtheta
Sabemos
integral0^pi/2cos^3theta,dtheta =integral0^pi/2(1-sin^2theta),dsintheta =l[sintheta-tfracsin^3theta3r]0^pi/2 =1-tfrac13=tfrac23,
logo
integral0^pi|cos^3theta|,dtheta =2cdottfrac23 =tfrac43
Portanto
V =163l(pi-tfrac43r) =48pi-649 =169,(3pi-4)

Resposta

V(S)=169l(3pi-4r)

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