Determine o volume dos sólidos
descritos abaixo:
e
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido
dado por
O conteúdo é volume por integração em coordenadas polares no plano
mais integração em
.
Passo 2
Primeiro descrevemos a projeção
de
no plano
. A condição
é equivalente a
ou seja, um disco de raio 1 centrado em
. Em coordenadas polares
,
, isso vira
Além disso, da esfera temos
, isto é
, mas como
em
, o limite efetivo é
.
Passo 3
Para cada
, o
varia de
a
. Logo o volume é
Em coordenadas polares
, então
Passo 4
Calculemos a integral interna
Fazendo
,
, obtemos
Como
,
Passo 5
No nosso caso
, logo
Assim
Então
Passo 6
Separando
Sabemos
logo
Portanto