Calcule as seguintes integrais:
integral0^1 integraly^1 x^2 e^x y d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^1!!integraly^1x^2e^xy,dx,dy.
O conteúdo envolve cálculo de integrais duplas e troca de ordem de integração para simplificar.

Passo 2

O domínio de integração é
D=(x,y)mid 0<= y<= x<=1
Trocando a ordem de integração, temos
integral0^1!!integraly^1x^2e^xy,dx,dy =integral0^1!!integral0^xx^2e^xy,dy,dx

Passo 3

Dentro da integral em y, x é constante. Logo,
integral0^xx^2e^xy,dy =x^2integral0^xe^xy,dy =x^2l[e^xyxr]0^x =xl(e^x^2-1r)

Passo 4

Substituindo no integral em x, surge
integral0^1xl(e^x^2-1r),dx =integral0^1x e^x^2,dx -integral0^1x,dx
Para a primeira parte, use u=x^2, du=2x,dx:
integral0^1x e^x^2,dx =12l[e^x^2r]0^1 =e-12
E a segunda parte é
integral0^1x,dx =12

Resposta

e-12-12 =e-22

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