Calcule as seguintes integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente
, onde é a região contida dentro do cilindro

Passo 1

O enunciado nos pede calcular a integral tripla integral triplaS raizx^2+y^2;dx,dy,dz, onde S é a região dentro do cilindro ;x^2+y^2=16 e entre os planos z=4 e z=5. O conteúdo principal aqui é integral tripla em coordenadas cilíndricas; vamos usar a mudança de variáveis para coordenadas cilíndricas e o jacobiano associado.

Passo 2

Definimos as coordenadas cilíndricas por
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z
O jacobiano da transformação é r. Em coordenadas cilíndricas, a região S fica
0 <= r <= 4, 0 <= theta <= 2pi, 4 <= z <= 5

Passo 3

Na nova parametrização temos raizx^2+y^2 = r e o elemento de volume é dV = r,dr,dtheta,dz. Assim, o integrando se torna
r;times;r ;=; r^2

Passo 4

A integral tripla separa-se em produto de três integrais:
integral0^2pi dtheta ;;times;; integral4^5 dz ;;times;; integral0^4 r^2,dr
Calculando cada parte:
integral0^4 r^2,dr = 13r^3|0^4 = 643,
integral4^5 dz = 5 - 4 = 1,
integral0^2pi dtheta = 2pi

Passo 5

Multiplicando os resultados obtemos
2pi ;times;1;times;643 ;=;128pi3

Resposta

128pi3

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