Calcule as seguintes integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente
, onde
é a região contida dentro do cilindro
Passo 1
O enunciado nos pede calcular a integral tripla
, onde
é a região dentro do cilindro
e entre os planos
e
. O conteúdo principal aqui é integral tripla em coordenadas cilíndricas; vamos usar a mudança de variáveis para coordenadas cilíndricas e o jacobiano associado.
Passo 2
Definimos as coordenadas cilíndricas por
O jacobiano da transformação é
. Em coordenadas cilíndricas, a região
fica
Passo 3
Na nova parametrização temos
e o elemento de volume é
. Assim, o integrando se torna
Passo 4
A integral tripla separa-se em produto de três integrais:
Calculando cada parte:
Passo 5
Multiplicando os resultados obtemos