Mostre que as seguintes funções NÃO são deriváveis em c.
Considere f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{|x|}{x} & \text { se } x \neq 0 \\\\ 0 & \text { se } x=0\end{array}\right. em c=0.

Passo 1

O enunciado define
f(x)= \begin{cases} \dfrac{|x|}{x},&x\neq 0,\\[6pt] 0,&x=0 \end{cases}
e pede para mostrar que f NÃO é derivável em c=0.
Para isso vamos usar a definição de derivada em um ponto via quociente de diferença:
f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}.
]

Passo 2

Escrevendo a definição de derivada em 0:
f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{f(h)-0}{h} =\lim_{h\to0}\frac{f(h)}{h}.

Passo 3

Para h>0 temos |h|=h, logo
f(h)=\frac{|h|}{h}=1.
O quociente de diferença fica
\frac{f(h)}{h}=\frac{1}{h},
e portanto
\lim_{h\to0^+}\frac{f(h)}{h} =\lim_{h\to0^+}\frac{1}{h}=+\infty.

Passo 4

Para h<0 temos |h|=-h, logo
f(h)=\frac{|h|}{h}=\frac{-h}{h}=-1.
O quociente de diferença fica
\frac{f(h)}{h}=\frac{-1}{h},
e portanto
\lim_{h\to0^-}\frac{f(h)}{h} =\lim_{h\to0^-}\frac{-1}{h}=+\infty.

Passo 5

Em ambos os lados o quociente de diferença tende a +\infty, ou seja, o limite
\lim_{h\to0}\frac{f(h)}{h} não existe como número real finito.
Como a derivada exige um limite finito, concluímos que f NÃO é derivável em 0.

Resposta

A derivada em c=0 não existe, então f não é derivável em 0.

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