Calcule a derivada das funçōes indicadas:
h(x)=\left(x^{3}+8 \operatorname{sen}(2 x)+3 e^{2 x}\right) \cos \sqrt{x^{4}+x+1}

Passo 1

Temos a função
h(x)=\bigl(x^{3}+8\sin(2x)+3e^{2x}\bigr)\,\cos\sqrt{x^{4}+x+1}.
Para derivar h vamos usar o princípio do produto (se h=uv então h'=u'v+uv') e a regra da cadeia para derivar \sin, \cos e potências.

Passo 2

Defina
u(x)=x^{3}+8\sin(2x)+3e^{2x}.
Derivando termo a termo por soma e pela regra da cadeia quando necessário:
\displaystyle \frac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}.
\displaystyle \frac{d}{dx}\bigl(8\sin(2x)\bigr)=8\cos(2x)\cdot2=16\cos(2x).
\displaystyle \frac{d}{dx}\bigl(3e^{2x}\bigr)=3e^{2x}\cdot2=6e^{2x}.
Logo
u'(x)=3x^{2}+16\cos(2x)+6e^{2x}.

Passo 3

Defina
v(x)=\cos\bigl(\sqrt{x^{4}+x+1}\bigr).
Para v'(x) aplicamos a cadeia duas vezes:
  1. v=\cos(w) com w=\sqrt{x^{4}+x+1}
\frac{dv}{dw}=-\sin(w).
  1. w=(x^{4}+x+1)^{1/2}
\frac{dw}{dx}=\tfrac12\,(x^{4}+x+1)^{-1/2}\,(4x^{3}+1) =\frac{4x^{3}+1}{2\sqrt{x^{4}+x+1}}.
Combinando,
v'(x) =-\sin\bigl(\sqrt{x^{4}+x+1}\bigr)\,\frac{4x^{3}+1}{2\sqrt{x^{4}+x+1}}.

Passo 4

Aplicando a regra do produto em h(x)=u(x)\,v(x):
h'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u, u', v e v':
h'(x) =\bigl(3x^{2}+16\cos(2x)+6e^{2x}\bigr)\cos\!\bigl(\sqrt{x^{4}+x+1}\bigr) +\bigl(x^{3}+8\sin(2x)+3e^{2x}\bigr) \!\left(-\frac{4x^{3}+1}{2\sqrt{x^{4}+x+1}}\sin\!\bigl(\sqrt{x^{4}+x+1}\bigr)\right).

Resposta

h'(x) =\bigl(3x^{2}+16\cos(2x)+6e^{2x}\bigr)\cos\!\Bigl(\sqrt{x^{4}+x+1}\Bigr) -\frac{4x^{3}+1}{2\sqrt{x^{4}+x+1}}\, \bigl(x^{3}+8\sin(2x)+3e^{2x}\bigr)\, \sin\!\Bigl(\sqrt{x^{4}+x+1}\Bigr).

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