Calcule a derivada das funçōes indicadas:
p(x)=\ln \left(2 x^{3}+4 x^{2}+\sin \left(3 x^{3}+1\right)\right)^{5}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
p(x)=\ln\bigl(2x^{3}+4x^{2}+\sin(3x^{3}+1)\bigr)^{5}.
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia aplicada duas vezes: primeiro na derivada do logaritmo e depois na potência, além da derivada de \sin(3x^{3}+1).

Passo 2

Usamos a propriedade dos logaritmos para simplificar:
p(x)=\ln\bigl(f(x)^{5}\bigr)=5\,\ln\bigl(f(x)\bigr),
onde definimos
f(x)=2x^{3}+4x^{2}+\sin\bigl(3x^{3}+1\bigr).

Passo 3

Agora calculamos a derivada de f(x). Para cada termo temos:
\frac{d}{dx}(2x^{3})=6x^{2}
\frac{d}{dx}(4x^{2})=8x
\frac{d}{dx}\bigl[\sin(3x^{3}+1)\bigr]=\cos(3x^{3}+1)\cdot\frac{d}{dx}(3x^{3}+1)=9x^{2}\cos(3x^{3}+1).
Somando tudo:
f'(x)=6x^{2}+8x+9x^{2}\cos\bigl(3x^{3}+1\bigr).

Passo 4

Derivamos p(x)=5\,\ln\bigl(f(x)\bigr) usando \frac{d}{dx}\ln(f)=\frac{f'}{f}, obtendo
p'(x)=5\cdot\frac{f'(x)}{f(x)}.

Passo 5

Substituindo f(x) e f'(x) na fórmula:
p'(x) =5\frac{6x^{2}+8x+9x^{2}\cos\bigl(3x^{3}+1\bigr)}{2x^{3}+4x^{2}+\sin\bigl(3x^{3}+1\bigr)}.

Resposta

p'(x) =5\frac{6x^{2}+8x+9x^{2}\cos\bigl(3x^{3}+1\bigr)}{2x^{3}+4x^{2}+\sin\bigl(3x^{3}+1\bigr)}.

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